Matematické Fórum

jan019 · 02. 12. 2014 16:24

Ahoj,

Potřebuju trošku poradit s lin. zobrazením.

$A:P_{2}->P_{1}$ je definováno předpisem $A(ax^2+bx+c) = (a+b+2c)x + (2a-b+c)$ , lin. zobrazení $B:P_{1}->P_{2}$ je definováno předpisem $B(ax+b) = (a+b)x^2 + (2a-b)x + (-a+b)$ . Rozhodněte, zda je prosté zobrazení C. Pokud ano, najděte matici zobrazení $C^{-1}$ vzhledem ke standarním bazím $(S_{2}) = (x^{2}, x, 1)$ , resp. $(S_{1}) = (x, 1)$ . Pokud není prosté, najděte bázi jádra a spočtěte defekt zobrazení C.
C = B ○ A $:P_{2} -> P_{2}$

První si musím složit C. To jsme udělal následovně.

$C= B(A(x^{2}+bx+c) =B((a+b+2c)x + (2a-b+c))$
propčítal jsem to a došel k:
$C(ax^{2} + bx + c)=(3a+3c)x^{2} +(3b+3c)x+(a-2b-c)$

Teď potřebuju zjistit, zda je zorbazení prosté. Prosté je tehdy, pokud $x_{1},x_{2}\in P_{2}, x_{1}$ se nerovná $x_{2}$ => různé vzory mají různé obrazy. Spočítám, že $C(x^{2})= 3x^{2} +1$ a $C(x)= 3x -2$ . Zobrazení je tím pádem prosté. A pokračoval bych dále.

Prosím, počítám zatím správně nebo jsem někde už udělal chybu?

bedrnik · 03. 12. 2014 15:26

Ahoj,

z lineární nezávislosti vektorů $C(x^{2})= 3x^{2} +1$ a $C(x)= 3x -2$ nevyplývá, že $C \colon P_2 \to P_2$ je prosté - to proto, že dvojice vektorů $(x^2,x)$ negeneruje celý prostor $P_2$ . Potřebujeme vyšetřit, zda jsou lineárně nezávislé obrazy vektorů, které tvoří nějakou bázi $P_2$ . Pokud vezmeme např. bázi $(x^2,x,1)$ , tak máme

$C(x^{2})= 3x^{2} +1$ ,
$C(x)= 3x -2$ ,
$C(1)= 3x^2 + 3x - 1$

a tyto tři vektory jsou lineárně závislé (poslední z nich je součtem prvních dvou). Z toho plyne, že $C$ není prosté.

A existuje i jeden rychlejší způsob, jak dokázat, že $C$ není prosté. Prostor $A(P_2)$ je podprostorem $P_1$ , takže jeho dimenze nemůže být vyšší než 2. Proto ani $C(P_2) = B(A(P_2))$ nemůže mít dimenzi vyšší než 2 - a tím pádem $C$ nemůže být na. A jak víme, lineární zobrazení mezi vektorovými prostory stejné konečné dimenze je prosté právě tehdy, když je na. Z toho plyne, že $C$ není prosté.

Hodně zdaru se zbytkem cvičení!

Matematické Fórum

#1 02. 12. 2014 16:24

Lineární zobrazení

#2 03. 12. 2014 15:26

Re: Lineární zobrazení

Zápatí