Matematické Fórum

kucape · 02. 12. 2014 15:50

Dobrý den,
mám problém s tímto příkladem.

Zadání:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-12/31398_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

Nevím co si představit pod výrazem: $\Lambda (p)=p(-x)+(x+1)$

Například když mám $\Lambda (ax^{2}+bx+c)=(a+b,a-b,c)$ , tak tady přesně vím co dělat, ale u tohoto zadání nevím co s tím $p$ .

Mohl by mi někdo prosím poradit jak postupovat u dokazování že se jedná o lineární zobrazení?

vanok · 02. 12. 2014 16:03 — Editoval vanok (02. 12. 2014 20:58)

Ahoj,
Ako prve vyjadri, ze pre polynom $p(x)=a^2+bx+c$
mame $p(-x)+ p(x+ 1)=(a x^2-bx +c)+a(x+1)^2+b(x+1)+c=....$

kucape · 02. 12. 2014 16:13 — Editoval kucape (02. 12. 2014 16:15)

↑ vanok:

Mohl bych se zeptat na trochu konkrétnější postup?

Polynom $p(x)=a^2+bx+c$ si zvolím ?

A ta úprava pak, co vlastně symbolizuje to $p$ v tech úpravach?

vanok · 02. 12. 2014 16:20 — Editoval vanok (02. 12. 2014 20:09)

Pozor $p(x)=ax^2+bx+c$ ( mal si tam preklep ), teno polynom je povazovany za vseobecny polynom v $P_2$
Ak to nevidis priamo mozes prejst cez obkluku.
1) napis co je p(z)
2) poloz v p(z) postupne z=-x,z= x+1

A to ti da to co som napisal vysie.

misaH · 02. 12. 2014 16:23

↑ kucape:

Podľa mňa je $p$ ľubovoľný polynóm

Predpis hovorí, že do polynómu treba dosadiť $-x$ , potom $x+1$ a výsledky sčítať. Výsledný polynóm je obrazom pôvodného polynómu.

kucape · 02. 12. 2014 16:39

↑ vanok:

Aha, no ja jsem to opsal od toho co jste psal v druhem příspěvku.

$p(x)=xa^2+bx+c$

Proč tam je to $a^{2}$ ?

Pokud má být polynom nejvýše řádu 2, tak by to mělo být například $ax^{2} + bx +c$ .

kucape · 02. 12. 2014 16:56 — Editoval kucape (02. 12. 2014 19:53)

↑ misaH:

Omlouvám se, ale takhle napsane mi to moc nerika.

Jak to myslite dosadit do polynomu ? Jako klasické dosazení? jako například za x v rovnici?

kucape · 02. 12. 2014 19:54

Mohl by mi ještě někdo prosím poradit ?

vanok · 02. 12. 2014 20:12 — Editoval vanok (02. 12. 2014 20:14)

↑ kucape:,
Ano mas pravdu, som to tvoje v prispevku 3 spatne opravil. No teraz je uz opravene.

kucape · 02. 12. 2014 20:20

↑ vanok:

Aha.
Takže si zvolím $p(x)=ax^2+bx+c$

a tedka mi neni jasný postup úpravy jak jste psal tady: $p(-x)+ p(x+ 1)=(a x^2-bx +c)+a(x+1)+b(x+1)+c=....$

to p(-x) znamená že udělám lineárního člen s opačným znaménkem ?
nebo je to chápano jako roznásobení p.(-x) ?

vanok · 02. 12. 2014 21:02 — Editoval vanok (02. 12. 2014 21:03)

Tu ti ti pisem trochu podrobnejsie
$p(-x)+ p(x+ 1)=(a (-x^2)+b(-x )+c)+a(x+1)^2+b(x+1)+c=\\ ax^2-bx+c+a(x^2+2x+1)+b(x+1)+c=...$
Vies to dokoncit?

kucape · 02. 12. 2014 21:18 — Editoval kucape (02. 12. 2014 21:27)

↑ vanok:

$p(-x)+ p(x+ 1)=(a (-x^2)+b(-x )+c)+a(x+1)^2+b(x+1)+c=\\ ax^2-bx+c+a(x^2+2x+1)+b(x+1)+c=...$

Výsledek:
$2ax^{2}+2ax+a+b+2c$

Je to správně ?

A jak ověřit z tohoto vyslesku že se jedná o lineární zobrazení?

vanok · 02. 12. 2014 23:32

↑ kucape:,
Zda sa mu ze mas dobry vysledok.
Linearita $\Lambda$ znamena, ze $\Lambda ( p+q)=..., \Lambda ( \alpha p)=...$

( Pripadne mozes pouzit suradnice napr v baze $(1,x,x^2)$ , no vsak to nie je povinne)

kucape · 03. 12. 2014 00:05 — Editoval kucape (03. 12. 2014 00:33)

↑ vanok:

Takže si zvolím:
$q=ax^{2}+bx+c$
$k=dx^{2}+ex+f$

Ověřuju linearitu:

$\Lambda (q+k)=((a+d)x^{2}+(b+e)x+c+f) =$

$=2(a+d)x^{2}+2(a+d)x+(a+d)+(b+e)+2(c+f)=$

$=2ax^{2}+2dx^{2}+2ax+2dx+a+d+b+e+2c+2f=$

$=2ax^{2}+2ax+a+b+2c+2dx^{2}+2dx+d+e+2f=$

$=\Lambda (q) +\Lambda (k)$

a pak

$\Lambda (\alpha q)=(\alpha a)x^{2}+(\alpha b)x+\alpha c=$

$=(2\alpha a)x^{2}+(2\alpha a)x+\alpha a+\alpha b+2\alpha c=$

$=\alpha (2 ax^{2}+2ax+a+b+2c)=$

$=\alpha\Lambda (q)$

Nejsem jsem si jistý s tím dosazením do $2ax^{2}+2ax+a+b+2c$ , je to správně ?

vanok · 03. 12. 2014 01:09 — Editoval vanok (03. 12. 2014 01:10)

$\Lambda (q+k)=2(a+d)x^{2}+2(a+d)x+(a+d)+(b+e)+2(c+f)=$
Pis skor priamo ako ja ( tomu nadbytocnemu a zbytocnemu clenovy nerozumiem)
Inac sa mi to zda dobre, ale uz skoro spim....

kucape · 03. 12. 2014 06:57 — Editoval kucape (03. 12. 2014 06:58)

↑ vanok:

Tim: $\Lambda (q+k)=((a+d)x^{2}+(b+e)x+c+f) =$ jsem mysel jak se obecne scitaji dva polynomy radu nejvyse radu 2. A v dalsim kroku: $=2(a+d)x^{2}+2(a+d)x+(a+d)+(b+e)+2(c+f)=$ uz probiha zobrazeni z ax^2+bx+c na 2ax^2 + 2ax +a +b +2c.

Kazdopadne dekuju za pomoc a spravne nasmerovani.

vanok · 03. 12. 2014 11:43

Tak treba napisat
$\Lambda (q+k)b=\Lambda((a+d)x^{2}+(b+e)x+c+f) =$
Dobre pokracovanie.

Matematické Fórum

#1 02. 12. 2014 15:50

Lineární zobrazení

#2 02. 12. 2014 16:03 — Editoval vanok (02. 12. 2014 20:58)

Re: Lineární zobrazení

#3 02. 12. 2014 16:13 — Editoval kucape (02. 12. 2014 16:15)

Re: Lineární zobrazení

#4 02. 12. 2014 16:20 — Editoval vanok (02. 12. 2014 20:09)

Re: Lineární zobrazení

#5 02. 12. 2014 16:23

Re: Lineární zobrazení

#6 02. 12. 2014 16:39

Re: Lineární zobrazení

#7 02. 12. 2014 16:56 — Editoval kucape (02. 12. 2014 19:53)

Re: Lineární zobrazení

#8 02. 12. 2014 19:54

Re: Lineární zobrazení

#9 02. 12. 2014 20:12 — Editoval vanok (02. 12. 2014 20:14)

Re: Lineární zobrazení

#10 02. 12. 2014 20:20

Re: Lineární zobrazení

#11 02. 12. 2014 21:02 — Editoval vanok (02. 12. 2014 21:03)

Re: Lineární zobrazení

#12 02. 12. 2014 21:18 — Editoval kucape (02. 12. 2014 21:27)

Re: Lineární zobrazení

#13 02. 12. 2014 23:32

Re: Lineární zobrazení

#14 03. 12. 2014 00:05 — Editoval kucape (03. 12. 2014 00:33)

Re: Lineární zobrazení

#15 03. 12. 2014 01:09 — Editoval vanok (03. 12. 2014 01:10)

Re: Lineární zobrazení

#16 03. 12. 2014 06:57 — Editoval kucape (03. 12. 2014 06:58)

Re: Lineární zobrazení

#17 03. 12. 2014 11:43

Re: Lineární zobrazení

Zápatí