Matematické Fórum

breta21 · 03. 12. 2014 21:58

Zdravim kolegove, tak již opet sedim se spolubydlici a rešime matiku :)
Vím že jsem provedl asi strašlive zverstvo, ale ....

rešime priklad na součet nekon. geomet.posloupnost... zadani je $\sum_{n=1}^{\infty } n/(6^{n})$

provedl jsem to...a ted se fakt bojim :D.... že jsme vypočitali 1 a 2 člen.... ty jsme podelili a zjistili jsme "q"
no a pak jsme dosadili do vzorce a/(1-q) a to co nám vyšlo, neni podobné tomu v offi rešeni :)

Jak se to má řešit prosím :)

vlado_bb · 03. 12. 2014 22:13

A skusili ste podelit aj niektore ine po sebe iduce cleny?

breta21 · 03. 12. 2014 22:27

↑ vlado_bb: to je dalši... když podelim 2 a 3 člen...tak vyjde 1/4......

vlado_bb · 03. 12. 2014 22:32

↑ breta21:Tak veru ... to nie je geometricky rad.

breta21 · 03. 12. 2014 22:34

↑ vlado_bb:

to by muj posledni trumf :( kdybychom tedy meli čiste to zadani a určit součet rady?

bedrnik · 03. 12. 2014 23:12

Ahoj,

geometrická řada pro $|q| < 1$ je $\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}$ .

Když to zderivujeme, dostaneme $\sum_{n=0}^\infty nq^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2}$ pro $|q| < 1$ .

Takže $\sum_{n=1}^{\infty } n/(6^{n}) = \sum_{n=0}^{\infty } n/(6^{n}) = \frac{1}{6} \sum_{n=0}^{\infty } n \left(\frac{1}{6}\right)^{n-1} = ...$

A myslím, že se to dá dokázat i elementárnějším způsobem než derivováním posloupnosti člen po členu. Možná si ještě vzpomenu.

breta21 · 03. 12. 2014 23:48

↑ bedrnik: jsem mimo :(

breta21 · 04. 12. 2014 00:18

↑ bedrnik: už to mam, budu to počitat jako nekonečny součet nekonečnych rad :D už se tešim jak to budu vysvetlovat....

bedrnik · 04. 12. 2014 00:29

↑ breta21:

V příspěvku ↑ bedrnik: jsem postupoval tak, že jsem vzal výsledek pro geometrickou řadu a ten jsem zderivoval podle $q$ . To, že platí $\frac{d}{dq} \sum_{n=0}^\infty q^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dq} q^n$ pro $q$ takové, že $|q| < 1$ , vyplývá z teorie mocninných řad (mocninná řada je derivovatelná ve vnitřku svého oboru konvergence a derivaci získáme jednoduše derivováním člen po členu - podobně jako v případě polynomů).

Teď koukám, že jsi napsal svůj komentář, zatímco jsem dokončoval svůj příspěvek, a vypadá to, že píšeš o tom samém co já (dvojitý nekonečný součet). Takže to skryji a můžeš si to pak případně ověřit.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

breta21 · 04. 12. 2014 00:54

↑ bedrnik:

Děkuji moc za snahu, pokud by jste si náhodou vzpomněl na něco jednoduššího, budu vděčný, potřeboval bych to vysvětlit (nějak lidsky) kolegyni, a tady jsem rád že mi to tak říkajíc intuitivně vyšlo, natož abych to šířil dále... :)

jelena · 05. 12. 2014 10:37 — Editoval jelena (18. 12. 2014 23:47)

Zdravím,

↑ breta21: děkuji za důvěru mně prokázanou přes PM, ale těžko se v této otázce zmohu na více, než projít místní (a nejen) archivy - alespoň část (a zdá se, že derivaci volí jako první volbu, jak diskutujete i s kolegou ↑ bedrnik:):

http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 619#p57619
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 13#p115613
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 52#p173152
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 96#p188696
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 93#p201093
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 28#p294228
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 72#p325472
http://math.stackexchange.com/questions … y-fracn38n
http://www.ebyte.it/library/docs/math06 … sKpXk.html

Musíš počkat na někoho, "koho sumy baví" a na další kolegy obdobných zálib (i když kolega Pavel např. udivuje i jinak) :-)

Zdravím do Brna.

EDIT: přidávám odkaz, kde je rozebrána metoda řešení přes diferenční rovnice. Děkuji autorům.

breta21 · 24. 12. 2014 16:01

↑ jelena: děkuji, děkuji za průzkum místních vod i odkaz na řešení pomocí diferenčních rovnic, osobně se mi tento druhý způsob velice líbí, je relativně netradiční a pro mne lépe pochopitelný uvidím, co mi na to řekne kolegyňka :) Ještě jednou všem děkuji a přeji Vám všem krásné a klidné Vánoce :)

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2014 21:58

Nekonečna geometricka rada ?

#2 03. 12. 2014 22:13

Re: Nekonečna geometricka rada ?

#3 03. 12. 2014 22:27

Re: Nekonečna geometricka rada ?

#4 03. 12. 2014 22:32

Re: Nekonečna geometricka rada ?

#5 03. 12. 2014 22:34

Re: Nekonečna geometricka rada ?

#6 03. 12. 2014 23:12

Re: Nekonečna geometricka rada ?

#7 03. 12. 2014 23:48

Re: Nekonečna geometricka rada ?

#8 04. 12. 2014 00:18

Re: Nekonečna geometricka rada ?

#9 04. 12. 2014 00:29

Re: Nekonečna geometricka rada ?

#10 04. 12. 2014 00:54

Re: Nekonečna geometricka rada ?

#11 05. 12. 2014 10:37 — Editoval jelena (18. 12. 2014 23:47)

Re: Nekonečna geometricka rada ?

#12 24. 12. 2014 16:01

Re: Nekonečna geometricka rada ?

Zápatí