Matematické Fórum

Petra91 · 03. 12. 2014 16:26

Ahoj,

nevím si rady s příkladem, zkoušela jsem googlit, hledat v různých materiálech, ale jsem ztracená.
Prosím Vás proto o pomoc.

Znění:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Závaží zavěšené na pružině vykonává netlumený harmonický pohyb s periodou T=0,4s a amplitudou A=2cm.
Určete:
a) výchylku závaží z rovnovážné polohy, jeho rychlost a zrychlení 4,85s od okamžiku, kdy závaží procházelo rovnovážnou polohou,
b) maximální velikosti rychlosti a zrychlení pohybu závaží,
c) dráhu, kterou závaží urazilo během 0,15s po průchodu rovnovážnou polohou.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Máme tu:
$f=\frac{1}{T}=2,5 s^{-1}$
$\omega =2\pi f=15,7s^{-1}$
$A=2cm=0,02m$
$t=4,85s$

Rovnici pro odchylku, rychlost a zrychlení:
$y=Acos(\omega t+\varphi)$
$v=-\omega Asin(\omega t+\varphi)$
$a=-\omega ^{2}Acos(\omega t+\varphi)$

Znám některá pravidla:
$tg\varphi =\frac{sin\varphi }{cos\varphi }$
$\omega =\sqrt{-\frac{a(0)}{x(0)}}$
$sin^{2}\varphi +cos^{2}\varphi =1$

Nevím jak pokračovat, když neznám odchylku, rychlost nebo zrychlení a fázi...

Nevěděl by někdo?

Děkuji předem za ochotu!

Jj · 03. 12. 2014 17:00

↑ Petra91:

Dobrý den. Jen si to potřebujete 'uspořádat'.

Spočítala jste úhlovou rychlost = 15.7/s, amplituda = 0.02 m, takže bych řekl, že okamžitá výchylka bude

$y = 0.02\cos 15.7 t$ , o fázi 'fí' zadání nehovoří - podle otázek se určuje čas od průchodu rovnovážnou polohou, takže 'fí' je možno položit = 0.

Podobně si napište rovnice pro rychlost a zrychlení a po dosazení t = 4.85 s dostanete odpovědi na otázky ad a).

K otázkám ad b) můžete užít hledání maxim příslušných rovnic pomocí derivací - ovšem bude stačit znalost průběhu funkcí sinus, kosinus pro určení max. hodnot 'v' a 'a'.

Ad c) Do rovnice pro okamžitvou výchylku dosadit t = 0.15 a uvědomit si, že do té doby prošlo kmitající těleso z rovnovážné polohy do krajní a vrací se zpět k rovnovážné poloze. Z toho už se určí dráha, kterou těleso urazilo.

To dáte.

Petra91 · 03. 12. 2014 17:09

↑ Jj:

Dobrý den,

ze zadání mám pouze výsledky:
$x=0,014 m$
$v=0,222 m/s$
$a=-3,49 m/s^{2}$

Vychází jiný výsledek, než když bych vynechala "FÍ".

Brzls · 03. 12. 2014 17:25 — Editoval Brzls (03. 12. 2014 17:27)

To je proto, že já osobně jsem zvyklej popisovat výchylku funkcí sinus ne cosinus (kdyby si taktéž jako výchozí funkci používala sinus, tak by byl postup nachlup stejný jak řikal Jj). Jak už bylo řečeno, tak fázi si můžeš zvolit libovolně, ale pro praktické výpočty je nejpohodlnější ji zvolit $-\frac{\pi }{2}$ (což ti z cosinu udělá sinus). To ti říká, že v čase t=0 je výchylka nulová a roste...

Jj · 03. 12. 2014 17:46 — Editoval Jj (03. 12. 2014 17:46)

↑ Brzls:

Zdravím - díky za vstup, pravda - to jsem přehlédl.

Takže vyjít z rovnice okamžité výchylky $y = 0.02 \sin (15.7t)$ a podle toho upravit rovnice pro v, a i další úvahy.

Omluva ↑ Petře91: za vzniklé komplikace - podvědomě jsem uvažoval funkci 'sinus' u výchylky s tím, že v čase 0 je těleso v rovnovážné poloze.

Petra91 · 03. 12. 2014 22:54

↑ Brzls:

Nerozumím tomu, že si můžu zvolit jakoukoli hodnotu fí.

Ponechala jsem fí=0

$y=0,02sin(15,7*4,85)=0,0194$

ale správný výsledek má být $0,014m$

:-(

Jj · 04. 12. 2014 09:26 — Editoval Jj (04. 12. 2014 09:29)

↑ Petra91:

Mi to vychází

$y = 0.02 \sin (15.7\cdot 4.85)\doteq 0.014$
$v = 0.02\cdot 15.7 \cos (15.7\cdot 4.85)\doteq 0.23$
$a = -0.02\cdot 15.7^2 \sin (15.7\cdot 4.85)\doteq -3.35$

K tomu fí: V otázkách podle zadání se určuje čas od průchodu tělesa rovnovážnou polohou, takže je pro výpočet vhodné, aby v čase t = 0 procházelo těleso právě rovnovážnou polohou. To se stane, pokud je fí určeno podle rady kolegy ↑ Brzls:. Zadání hodnotu fí nijak nekonkretizuje, proto je možno si vybrat nejvýhodnější - já jsem to popletl a navrhl jsem fí = 0 - v tom případě by v čase t = 0 bylo těleso v krajní poloze y = 0.02 a výpočty by to trochu komplikovalo.

Petra91 · 04. 12. 2014 11:30

↑ Jj:

Už mi to také vychází, moc Vám děkuji za pomoc!

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2014 16:26

Netlumený Harmonický pohyb - (Googleno - nenalezeno)

#2 03. 12. 2014 17:00

Re: Netlumený Harmonický pohyb - (Googleno - nenalezeno)

#3 03. 12. 2014 17:09

Re: Netlumený Harmonický pohyb - (Googleno - nenalezeno)

#4 03. 12. 2014 17:25 — Editoval Brzls (03. 12. 2014 17:27)

Re: Netlumený Harmonický pohyb - (Googleno - nenalezeno)

#5 03. 12. 2014 17:46 — Editoval Jj (03. 12. 2014 17:46)

Re: Netlumený Harmonický pohyb - (Googleno - nenalezeno)

#6 03. 12. 2014 22:54

Re: Netlumený Harmonický pohyb - (Googleno - nenalezeno)

#7 04. 12. 2014 09:26 — Editoval Jj (04. 12. 2014 09:29)

Re: Netlumený Harmonický pohyb - (Googleno - nenalezeno)

#8 04. 12. 2014 11:30

Re: Netlumený Harmonický pohyb - (Googleno - nenalezeno)

Zápatí