Matematické Fórum

ambrela · 04. 12. 2014 10:27

Potřebovala bych poradit s příkladem, nevím si s ním nějak vůbec rady...
V revíru, v němž je b metrů krychlových dřeva, je roční přírůstek dřeva p%. Kolik metrů krychlových je možné ročně vytěžit, aby za n let vzrostlo množství dřeva o q-násobek?

Děkuju moc za jakoukoliv radu :)

BakyX · 04. 12. 2014 18:36

Vidím to na 2 možnosti: Že sa ten nárast $p \%$ sa ráta z množstva na začiatku alebo na konci roka (tj. pred alebo po ťažbe v daný rok). Povedzme, že na konci roka. Reálne to zrejme funguje v priebehu roka, ale na počítanie s tým nemáme dosť informácií. Ďalej predpokladám, že odpoveď má byť nejaká konštanta, tj. každý rok ťažím rovnaké množstvo dreva.

Ak označíme $x$ hľadanú odpoveď, tak na začiatku máme $b$ dreva, v ďalšom roku

$(b-x).\left(1+\frac{p}{100}\right)$

Všeobecne v $n$ -tom roku začínajúc od nuly máme $a_n$ , potom $a_n$ spĺňa

$a_{n+1}=(a_n-x).\left(1+\frac{p}{100}\right)$

pričom $a_0=b$ .

Túto rovnicu môžeme riešiť pomocou substitúcie

$a_n=b_n+x \left(1+\frac{100}{p}\right)$

pričom $b_0=a_0- x \left(1+\frac{100}{p}\right)=b- x \left(1+\frac{100}{p}\right)$

Potom pre $b_n$ máme vzťah

$b_{n+1}=\left(b_n+x\left(\frac{100}{p}+1 \right)-x\right)\left(1+\frac{p}{100}\right)-x\left(\frac{100}{p}+1\right)=b_n \left(1+\frac{p}{100}\right)$

Môžeme teda povedať, že

$b_n= b_0 \left(1+\frac{p}{100}\right)^{n-1}= \left(b- x \left(1+\frac{100}{p}\right)\right) \left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$

Prechod k $a_n$ nám dáva konečný vzorec

$a_n = \left(b- x \left(1+\frac{100}{p}\right)\right) \left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}+x \left(1+\frac{100}{p}\right)$

Ak za $n$ rokov vzrastie množstvo dreva o $q$ násobok, tak toto množstvo bude po tých $n$ rokov $(q+1)b$ .

Ostáva vyriešiť rovnicu

$(q+1)b=\left(b- x \left(1+\frac{100}{p}\right)\right) \left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}+x \left(1+\frac{100}{p}\right)$

ako rovnicu premennej $x$ . Nakoľko je v nej lineárna, tak to už pôjde. Vychádza mi:

$x=\frac{b \left(1+\frac{p}{100}\right)^n-(q+1)b}{\left(1+\frac{100}{p}\right)\left(1+\frac{p}{100}\right)^n-\left(1+\frac{100}{p}\right)}$

Ak som to zadanie nepochopil dobre, tak ma prosím upozornite. Toto vyzerá príliš šialene :)

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2014 10:27

procenta

#2 04. 12. 2014 18:36

Re: procenta

Zápatí