Matematické Fórum

pavelbr · 04. 12. 2014 18:04

Ví někdo, jak se vyřeší tento integrál?

$\frac{x^{3}}{1+x^{2}}$

Děkuju

mates.dz · 04. 12. 2014 18:05

podel to ako mnohoclen mnohoclenom a potom uz je to jasne
:)

Rumburak

↑ pavelbr:

To není integrál, ale zlomek. Pokud ho chceš zintegrovat, pomůže úprava

$\frac{x^{3}}{1+x^{2}} = \frac{x^{3} + x}{1+x^{2}} - \frac{ x}{1+x^{2}} = ...$ .

Integrace racionální funkce je metodicky zpracována i pro složitější případy - na www se toho dá nalézt
celkem dost na toto téma.

vlado_bb · 04. 12. 2014 18:24

↑ pavelbr:Ktoru knihu pouzivas na studium integralov? Pytam sa preto, aby som pri pomoci pouzil rovnaku symboliku, na aku si zvyknuty.

mates.dz

ospravedlňujemsa neni to az take jasne ako som si mislel
$x-\frac{x}{1+x^{2}}$
to x je jasne a to druhe perpartesneme
$x*atg(x)-\int_{}^{}atg(x)$
zavedeme si substituciu atg(x) = y
$\int_{}^{}\frac{y}{cos^{2}y}$
to per partes
$y*tg(y)-\int_{}^{}tg(y)$
a integral tangensu je
$-ln(cos(y))$
ak sa teda nemilim

p.s. riesil som iba postup často som tam nepisal minusi pred integrali
ale urcite niekto najde ovela jednoduchsie riesenie,
:)

pavelbr · 04. 12. 2014 18:43

Děkuju, ale moc nechápu tomu prvnímu kroku: $x-\frac{x}{1+x^{2}}$ ???
Jak jsi na to přišel?

mates.dz · 04. 12. 2014 18:48

ak ti nevadi komplexne riesenie mam lepsi spôsob ako ten môj pôvodný
podelenim
$x+\frac{x}{1+x^{2}}$
a to druhe rozložiť na
$\frac{x}{(1-ix)(1+ix)}$
a to na
$\frac{x}{(1-ix)(1+ix)}=\frac{i}{1+ix}-\frac{i}{1+x^{2}}$
což zintegrovane je
$ln(1+ix)-iatg(x)$
a to by malo isť zrelniť
pokil sa teda nemilim

mates.dz

↑ pavelbr:
to je delenie mnohočlenu
je to ako normalne delenie keby to nepoznaš tak takto :
$x^{3}:(x^{2}+1)$
das si
$x^{3}:x^{2}=x$
a to vynasobyš tou zatvorkou a odcitaš od toho x na 3
$x^{3}-(x^{2}+1)*x =-x$
a to je zviśok lebo sa to neda tou zatvorkou viec deliť tak to daš ako zlomok
$x^{3}:(x^{2}+1)=x+\frac{-x}{1+x^{2}}$

:)

vlado_bb · 04. 12. 2014 18:53

↑ pavelbr:Este raz - aku literaturu pouzivas?

pavelbr · 04. 12. 2014 19:02

Používám skripta "Matematická analýza" pro ČVUT.

Jj · 04. 12. 2014 19:03 — Editoval Jj (04. 12. 2014 19:07)

↑ mates.dz:

Zdravím, řekl bych, že jednodušeji:

$\int \left(x+\frac{x}{1+x^2}\right)\,dx = \frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^2}\,dx= \frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

vzhledem k tomu, že druhý integrál je typu $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln |f(x)|+C$

↑ pavelbr:

Hezký postup převodu na parciální zlomky v tomto příkladu napsal kolega ↑ Rumburak:.

mates.dz · 04. 12. 2014 19:12

↑ Jj: zdravim, ano jasne len som chcel priviesť ten integral na integral nejakej zakladnej funkcie.

pavelbr · 04. 12. 2014 19:51

Děkuju za řešení

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2014 18:04

integrál

#2 04. 12. 2014 18:05

Re: integrál

#3 04. 12. 2014 18:13 — Editoval Rumburak (05. 12. 2014 11:01)

Re: integrál

#4 04. 12. 2014 18:20 Příspěvek uživatele mates.dz byl skryt uživatelem mates.dz. Důvod: chyba

#5 04. 12. 2014 18:24

Re: integrál

#6 04. 12. 2014 18:34 — Editoval mates.dz (04. 12. 2014 18:38)

Re: integrál

#7 04. 12. 2014 18:43

Re: integrál

#8 04. 12. 2014 18:48

Re: integrál

#9 04. 12. 2014 18:53 — Editoval mates.dz (04. 12. 2014 18:54)

Re: integrál

#10 04. 12. 2014 18:53

Re: integrál

#11 04. 12. 2014 19:02

Re: integrál

#12 04. 12. 2014 19:03 — Editoval Jj (04. 12. 2014 19:07)

Re: integrál

#13 04. 12. 2014 19:12

Re: integrál

#14 04. 12. 2014 19:51

Re: integrál

Zápatí