Matematické Fórum

talent2211 · 04. 12. 2014 14:13

dobrý den, potřeboval bych poradit se zdůvodněním jedné limity.

$\lim_{x\to\infty }(\frac{3}{x})^x$

intuitivně je mi více méně jasné, ale potřeboval bych vědět, jak takovou limitu zdůvodnit.

jedna podobná, která by mě zajímala také

$\lim_{x\to\infty }\frac{x^3}{3^x}$

všem děkuji za ochotu

mates.dz · 04. 12. 2014 15:11

uvedom si ze
$x=3^{\log_3{x}}$
cize ta horna je
$\frac{3^{x}}{x^{x}}$
a to je
$\frac{3^{x}}{3^{x\log_3{x}}}$
$3^{x(1-\log_3{x})}$
a z toho je to jasne
a to druhe, pouzi 3 krat H Lopitalove pravidlo :)

talent2211 · 04. 12. 2014 20:32

díky moc, v průběhu jsem přišel na to první, akorát jsem se chtěl zeptat, zda ta druhá limita jde zdůvodnit i jinak než pomocí L'Hospitala, na to jsem zapomněl to tam udat :) kdyby to nešlo, tak se nic neděje

mates.dz · 04. 12. 2014 20:40

skus to tak isto ako to prve cez ten logaritmus
$x^{3}/3^{x}=3^{\log_3{x}-x}$
a vieš že ak x>3 tak logx<x
viem ze 3 tam neni nulovi bod ale tu to bohate staci :)

Pavel · 04. 12. 2014 21:16

↑ talent2211:

$\lim_{x\to\infty}\left(\frac 3x\right)^x=\lim_{x\to\infty}\mathrm{e}^{x\cdot\ln\left(\frac3x\right)}=\mathrm{e}^{\lim\limits_{x\to\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac 3x\right)\right)}=\mathrm{e}^{\infty\cdot(-\infty)}=\mathrm{e}^{-\infty}=0.$

talent2211 · 04. 12. 2014 21:36

děkuju za pomoc, bude se mi to hodit :)

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2014 14:13

zdůvodnění jedné limity

#2 04. 12. 2014 15:11

Re: zdůvodnění jedné limity

#3 04. 12. 2014 20:32

Re: zdůvodnění jedné limity

#4 04. 12. 2014 20:40

Re: zdůvodnění jedné limity

#5 04. 12. 2014 21:16

Re: zdůvodnění jedné limity

#6 04. 12. 2014 21:36

Re: zdůvodnění jedné limity

Zápatí