Matematické Fórum

lisdfh · 01. 12. 2014 08:14

Uvažujte posloupnost prvků $\{x_{n} \}= (1, ..., 1, 0, 0, ...)$ , kde jendička je vždy právě n-krát, Banachova prostoru $l^{\infty }$ . Ukažte:

A) $\{x_{n}\}$ nemůže konvergovat v normě v prostoru l^{\infty }
B) $x_{n}$ slabě s hvězdičkou konverguje k x, kde x = (1,1,1,...)
C) $\{x_{n}\}$ nekonverguje slabě k x

A) mám celé, tam stačí ukázat, že posloupnost není cauchyovská
B) nevím vůbec
C) jsem našla nástin, ale taky nevím, jak s tím hnout

nástin:
K důkazu staačí najít $\Phi \in (l^{\infty })*$ tak aby $\Phi x_{n} = 0, \forall n$ a $\Phi x=1$ . K tomu si stačí uvědomit, že $c\subset \subset l^{\infty }$ a $\varphi :\{\xi ^{n}\} ->lim\xi ^{n}$ je spojitá lineární forma na c, která jde podle Hahn-Banachovy věty rozšířit na celý prostor $l^{\infty }$

Nevíte, prosím, jak na to B a jak dokončit C?

Brano · 06. 12. 2014 03:02

b) plati $(l^1)^*=l^\infty$ a teda to ze $x_n$ konverguje $w^*$ k nejakemu $x$ znamena, ze pre kazde $y\in l^1$ plati $x_n(y)\to x(y)$ no a teraz si zober nejake vseobecne $y=(y_1,y_2,y_3,...)$
potom $x_n(y)=y_1+y_2+...+y_n$ a $x(y)=y_1+y_2+...+y_n+...$ a kedze $y\in l^1$ tak $x(y)$ je konecne a $x_n(y)\to x(y)$

k ostatnym konvergenciam vies potom povedat to, ze ak by $x_n$ malo konvergovat v norme, alebo slabo (w) tak jedine k $x$ (co je $w^*$ limita ktoru sme overili, ze existuje)

To ze $x_n\not\to x$ v norme je lahke (ale to ako si to robila, ze si overila, ze $x_n$ nie je cauchyovska je samozrejme OK)

no a na to ze to nekonverguje slabo nam treba nejake $z\in (l^\infty)^*$ take ze $z(x_n)\not\to z(x)$ . No a to si samozrejme tiez urobila dobre: takto definovana fcia
$z:c\to R$ kde $c\subset l^\infty$ su konvergentne postupnosti a $z(\{x_k\})=\lim x_k$ - je linearna a plati $z(\{x_k\})\le\sup|x_k|=||x||$ co uz ti na tu Hahn-Banachovu vetu staci.

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2014 08:14

Konvergence v normě, slabá a slabá s hvězdičkou konvergence

#2 06. 12. 2014 03:02

Re: Konvergence v normě, slabá a slabá s hvězdičkou konvergence

Zápatí