Matematické Fórum

Callme · 06. 12. 2014 18:27 — Editoval Callme (06. 12. 2014 18:29)

Cavte ako vyriesim integral $\sqrt{x^{2} + 9x + 1}dx$
Upravim $\sqrt{x^{2} + 9x + 1}dx=\sqrt{(x+\frac{9}{2})^{2}-\frac{77}{4}}dx$ vyuzijem substituciu $x+\frac{9}{2}=t, dx=dt$ a dostanem $\sqrt{4t^{2}-77}dt$ a vyuzijem vzorec $\int_{}^{}\sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{x\sqrt{x^2-a^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}$ ?

Argcotgh x · 06. 12. 2014 19:11

Obecně by integrál ∫√(ax2 + bx + c) dx, pro b^2 - 4ac > 0

měl mít řešení

(2ax + b) . √(ax2 + bx + c) 4 ac - b^2 dx
________________________ + __________ . ∫ __________________
4a 8a √(ax^2 + bx + c)

a poslední integrál

dx 1 2ax + b
∫ __________________ = - ________ . arcsin _____________
√(ax^2 + bx + c) √(-a) √(b^2 - 4 ac)

V našem případě a = 1, b = 9, c = 1.

Řešení je podle mě založeno na některé z Eulerových substitucí.

Callme · 06. 12. 2014 21:48

To co som napisal ja je zle?

Argcotgh x · 06. 12. 2014 22:36

Myslím, že správně, jen jsem chtěl uvést obecné řešení pro původní integrál.

Callme · 07. 12. 2014 00:32 — Editoval Callme (07. 12. 2014 00:32)

Dosadzam do vzorca zle ked vychadza zly vysledok alebo je zla metoda $\frac{2t\sqrt{4t^2-77}}{2}-\frac{77}{2}\int_{}^{}\frac{1}{{\sqrt{4t^2-77}}}dt$ ?

Argcotgh x · 07. 12. 2014 13:32

Ještě k integrálu

∫ √(x^2 - a^2) dx

Ten je roven

( 1/2 .x . √(x^2 - a^2) ) - ( 1/2 . a^2 . ln | x + √(x^2 - a^2) | ).

Callme · 07. 12. 2014 14:44

Neviem preco ale vychadza zly vysledok

jelena · 07. 12. 2014 16:37

Zdravím v tématu,

↑ Callme:

pokud chceš používat přímo vzorec $\int_{}^{}\sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{x\sqrt{x^2-a^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , potom si všimni, že Tvé

$\sqrt{x^{2} + 9x + 1}dx=\sqrt{(x+\frac{9}{2})^{2}-\frac{77}{4}}dx$

odpovídá $x+\frac{9}{2}=t, dx=dt$ , $a^2=\frac{77}{4}$ .

Pokud ale provedeš úpravu $\sqrt{4t^{2}-77}dt$ , tak ve skutečnosti máš
$\sqrt{x^{2} + 9x + 1}dx=\sqrt{(x+\frac{9}{2})^{2}-\frac{77}{4}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{4t^{2}-77}dt$ a ještě bys potřebovat $2t=u$ , $a^2=77$ , abys použit Tvůj vzorec.

Řekla bych, že v úpravách něco drobného ulítlo, ozvi se, zda vyšlo. Jinak, jak píše kolega, můžeš rovnou používat vzorec, pokud již to můžete č.6 v odkazu.

Callme · 07. 12. 2014 20:21

Dakujem vyslo pouzil som

jelena napsal(a):
odpovídá $x+\frac{9}{2}=t, dx=dt$ , $a^2=\frac{77}{4}$ .

a moj vzorec

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2014 18:27 — Editoval Callme (06. 12. 2014 18:29)

Integrál

#2 06. 12. 2014 19:11

Re: Integrál

#3 06. 12. 2014 21:48

Re: Integrál

#4 06. 12. 2014 22:36

Re: Integrál

#5 07. 12. 2014 00:32 — Editoval Callme (07. 12. 2014 00:32)

Re: Integrál

#6 07. 12. 2014 13:32

Re: Integrál

#7 07. 12. 2014 14:44

Re: Integrál

#8 07. 12. 2014 16:37

Re: Integrál

#9 07. 12. 2014 20:21

Re: Integrál

jelena napsal(a):

Zápatí