Matematické Fórum

tomik112 · 07. 12. 2014 20:12

Zdravím. Potřeboval bych pomoci s výpočtem integrálu. $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x-y)*\sqrt{1+y^2} dx dy$

Argcotgh x · 07. 12. 2014 20:18

Začal bych s "vnitřním" integrálem - integroval podle dx - a ypsilon vzal jako konstantu. Výsledek vnitřního integrálu dosadit do "vnějšího" a zintegrovat podle dy. Tak bych to řešil.

tomik112 · 07. 12. 2014 20:49

Integrace podle x výjde (jestli se nepletu): $\int_{0}^{1}(\frac{1}{2}-y)*\sqrt{1+y^{2}}dy$
A co teď s odmocninou? Substituce?

Argcotgh x · 07. 12. 2014 21:02

Integrand lze zapsat jako součet 1/2*odmocnina - y*odmocnina.

Integrál y.odmocnina lze řešit jednoduchou substitucí.

Integrál samotné odmocniny je roven

∫ √(1+y^2) dy = y/2 . √(1+y^2) + 1/2 ln (y + √(1+y^2)

ale ten si jen pamatuju z hlavy, na odvození si teď nevzpomenu.

tomik112 · 07. 12. 2014 21:21

Tak jsem se dobral výsledku $-\frac{\sqrt{2}}{6}$

Je to správně?

Jj · 09. 12. 2014 16:54

re]p452019|tomik112[/re]

Dobrý den.

Řekl bych, že to správně není - Wolfram dává výsledek Odkaz

Podle rady kolegy ↑ Argcotgh x: můžete spočítat, že

$\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}-y\right)\sqrt{1+y^{2}}\,dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sqrt{1+y^{2}}\,dy-\int_{0}^{1}y\sqrt{1+y^{2}}\,dy$

a spočítat dílčí integrály. Pokud je problém s výpočtem integrálů - lze použít program MAW: Odkaz, kterým je možno provádět výpočet po krocích (neurčité i určité integrály).

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2014 20:12

Dvojný integrál

#2 07. 12. 2014 20:18

Re: Dvojný integrál

#3 07. 12. 2014 20:49

Re: Dvojný integrál

#4 07. 12. 2014 21:02

Re: Dvojný integrál

#5 07. 12. 2014 21:21

Re: Dvojný integrál

#6 09. 12. 2014 16:54

Re: Dvojný integrál

Zápatí