Matematické Fórum

Anezkaa · 08. 12. 2014 11:42

Nevím si rady s jedním příkladem z Petákové.

Jsou dány body S/3,2/ M/5,1/. Určete bod M1 tak, aby vektory u1=M-S a u2=M1-S měly stejnou velikost a byly navzájem kolmé.

Rumburak

Neznámý bod M má nějaké (neznámé) souřadnice.
Pomocí nich možno vyjádřit souřadnice vektorů u1, u2.
Podmínka na stejnou velikost těchto vektorů dá jednu rovnici (vzorec pro velikost vektoru jistě znáš).
Podmínka na kolmost vektorů (pomocí jejich skalárního součimu) dá druhou rovnici.

Dostaneme tak soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou vyřešíme.

Anezkaa · 08. 12. 2014 16:52

↑ Rumburak:
čemu se jednotlivé rovnice budou rovnat?

Rumburak · 08. 12. 2014 17:13

↑ Anezkaa:

Když si zopakuješ látku, na kterou jsem Tě navedl, tak na to určitě příjdeš. Je to lehké. :-)

Anezkaa · 08. 12. 2014 17:39

↑ Rumburak:
druhá rovnice se bude rovnat nule ale nejsem si jistá jestli i ta první?!

misaH · 08. 12. 2014 17:43

↑ Anezkaa:

Prvá rovnica je:

Veľkosť jedného vektora = veľkosť druhého vektora.

Cheop · 09. 12. 2014 08:51

↑ Anezkaa:
1) Velikost vektoru u_1 je rovna vzdálenosti bodů |MS| a tato vzdálenost musí být stejná jako
vzdálenost bodů |M_1S| - to je první rovnice
2) Skalární součin vektorů u_1 a u_2 musí být roven 0 - to je druhá rovnice.
Teď už to dáš dohromady?

Anezkaa · 09. 12. 2014 20:09

↑ Cheop:
Děkuji za snahu i přesto mi příklad nevyšel..:D

Cheop · 10. 12. 2014 07:01 — Editoval Cheop (10. 12. 2014 09:58)

↑ Anezkaa:
$S=(3;\,2)\\M=(5;\,1)$
Vektor SM je roven:
$\vec{u_1}=\vec{SM}=(5-3;\,1-2)=(2;\,-1)$
Velikost vektoru SM je:
$|SM|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt 5$
Hledaný bod M_1 bude mít souřadnice:
$M_1=(x;\,y)$
Vektor SM_1 tedy bude:
$\vec{u_2}=\vec{SM_1}=(x-3;\,y-2)$
Tyto vektory musí mít stejnou velikost tedy platí:
$\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}=\sqrt 5$
První rovnice je:
$(x-3)^2+(y-2)^2=5$

Druhá rovnice:
Protože mají být na sebe kolmé pak jejich skalární součin =0 (cos 90 stupňů= 0) tj:
$\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0\\u_{1x}\cdot u_{2x}+u_{1y}\cdot u_{2y}=0$
$2(x-3)+(-1)(y-2)=0\\2x-y-4=0$
Souřadnice hledaného bodu M_1 budou řešením soustavy rovnic:
$(x-3)^2+(y-2)^2=5\\2x-y-4=0$

Jiný způsob (možná méně na počítání)
Vektor SM je:
$\vec{u_1}=\vec{SM}=(5-3;\,1-2)=(2;\,-1)$
Vektor SM_1 je:
$\vec{u_2}=\vec{SM_1}=(x-3;\,y-2)$
Kolmý vektor k vektoru SM bude mít souřadnice:
a)
$\vec{u_2}=(1;\,2)$ prohodíme souřadnice a u jedné změníme znaménko
b)
$\vec{u_2}=(-1;\,-2)$ prohodíme souřadnice a u jedné změníme znaménko

A nyní musí platit: (vektor má mít stejnou velikost a být kolmý)
pro případ a)
$x-3=1\,\Rightarrow x=\cdots\\y-2=2\,\Rightarrow y=\cdots$
pro případ b)
$x-3=-1\,\Rightarrow x=\cdots\\y-2=-2\,\Rightarrow y=\cdots$
A tím je hotovo

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

PS: Existuje ještě jeden způsob a to pomocí dvou kružnic se středy v bodech M a S s poloměry
$|u_1|$ resp. $|u_1|\cdot\sqrt 2$
Hledaný bod M_1 bude průsečíkem těchto kružnic.

Edit: Protože název tématu je "Vektory" pak bych preferoval druhý (jiný) způsob výpočtu.

zdenina12 · 19. 10. 2015 11:11

V prostoru jsou dány tři body A= $[1, 1, 1]$ B= $[-1,2,0]$ C= $[2, -2, -1]$
V trojúhelníku ABC určete velikost úhlu u vrcholu C a zaokrouhlete úhel na celé číslo

jelena · 19. 10. 2015 11:56

↑ zdenina12:

Zdravím, založ si, prosím, vlastní téma viz pravidla. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2014 11:42

Vektory

#2 08. 12. 2014 12:05 — Editoval Rumburak (09. 12. 2014 11:30)

Re: Vektory

#3 08. 12. 2014 16:52

Re: Vektory

#4 08. 12. 2014 17:13

Re: Vektory

#5 08. 12. 2014 17:39

Re: Vektory

#6 08. 12. 2014 17:43

Re: Vektory

#7 09. 12. 2014 08:51

Re: Vektory

#8 09. 12. 2014 20:09

Re: Vektory

#9 10. 12. 2014 07:01 — Editoval Cheop (10. 12. 2014 09:58)

Re: Vektory

#10 19. 10. 2015 11:11

Re: Vektory

#11 19. 10. 2015 11:56

Re: Vektory

Zápatí