Matematické Fórum

Oli26 · 25. 11. 2014 16:41

Urcete moment setrvacnosti setrvacniku, ktery je tvoren tenkym diskem o hmotnosti m $_{1}$ = 0,5 kg a polomeru R= 14cm a masivni obruci o vnitrnim polomeru R $_{1}$ = 10cm a polomeru vnejsim rovnemu R a hmotnosti m $_{2}$ = 10 kg.
Diky moc!

Jj · 25. 11. 2014 17:05

↑ Oli26:

Dobrý den.

Nepíšete, vzledem k jaké ose a s čím máte problém.

Oli26 · 25. 11. 2014 17:17

No to se v zadani nikde nepise. Problem mam s pocitanim prikladu.

Jj · 26. 11. 2014 13:24 — Editoval Jj (26. 11. 2014 13:26)

↑ Oli26:

Pokud není zadáno nic jiného, tak předpokládejme, že jde o nejjednodušší případ - moment setrvačnosti vzhledem k ose disku, obruče, kolmé k jejich rovinám.

Moment setrvačnosti $I = \int_M r^2 dm$ , r = vzdálenost od osy rotace, integrace přes celou hmotnost M tělesa.

Pro moment setrvačnosti 'tenké' obruče o poloměru r, šířce dr a plošné hustotě ró dostaneme:

$\int_{0}^{2\pi} \rho r^2\, d\varphi\,dr=2\pi\rho r^2\,dr$

--> pro obruč o poloměrech r1, r2 $I_o =2\pi\rho \int_{r_1}^{r_2}r^2\,dr$
bude-li vnitřní poloměr r1=0, dostaneme moment setrvačnosti disku o poloměru r2.

Takže podle zadání:

Plošná hustota disku $\varrho_d = \frac{m_d}{\pi R_d^2}=\frac{0.5}{\pi \cdot 0.14^2}=\dots \, kg/m^2$
Plošná hustota obruče $\varrho_o = \frac{m_o}{\pi (R^2-R_1^2)}=\frac{10}{\pi (0.14^2- 0.1^2)}=\dots \, kg/m^2$

a můžete spočítat moment setrvačnosti setrvačníku:

$I = I_d + I_o =2\pi\rho_d \int_{0}^{0.14}r^2\,dr+2\pi\rho_o \int_{0.1}^{0.14}r^2\,dr=\cdots \, kg\cdot m^2$

nephele · 08. 12. 2014 20:30

Prosím vás, pomohli by ste mi s týmto príkladom?
Fyzické kyvadlo hmotnosti M je vytvořeno ze dvou stejných tyčí délky l spojených do tvaru T. Přitom muže kývat zavěšeno za spodní konec dvěma spusoby: a) v rovině kolmé k rovině téčka, b) v rovině téčka. Určite periodu malých kyvu.

Začala som s tým, že
I * ω (s tečkou) = Fg * r
r ako poloha ťažiska

neviete mi niekto poradiť ako ďalej?

zdenek1 · 09. 12. 2014 11:53

↑ nephele:
b)
Moment setrvačnosti k dané ose je $J=\frac13ml^2+\frac{1}{12}ml^2+ml^2=\frac{17}{12}ml^2$ , kde $m$ je hmotnost jedné tyče, tj. $m=\frac M2$
$J=\frac{17}{24}Ml^2$
vzdálenost těžiště od osy je $d=\frac34l$
dosazením do vztahu $T=2\pi\sqrt{\frac{J}{mgd}}$ dostáváš
$T=2\pi\sqrt{\frac{\frac{17}{24}Ml^2}{Mg\frac34l}}$
a to už si nějak poupravuj