Matematické Fórum

kexholm · 08. 12. 2014 22:33

Ahoj, mám takovou dvojitě alternující řadu:
$\sum_{n=1}^{\infty}-1^n(1-cos^2(\frac{\pi (-1)^n}{n}))$
Dá se zjednodušit na $\sum_{n=1}^{\infty}cos^2(\frac{\pi (-1)^n}{n})-1$ a protože -1 na konvergenci nic nezmění tak tahle řada bude konvergovat iff $\sum_{n=1}^{\infty}cos^2(\frac{\pi (-1)^n}{n})$ konverguje.

Ale toho kosínu se nezbavíme - tady nám překáží že mocnina kosínu není periodická :< Strýček wolfram mně překvapil s tím že řada podle něj nekonverguje.

Nejsem si tím jistá ale myslím že by to šlo dál zjednodušit na
$\sum_{n=1}^{\infty}cos^2(\frac{\pi}{n})$
Protože cos^2 je sudá funkce, tak zase naše řada bude konvergovat iff bude konvergovat naše zjednodušená řada.

Dál nevím co s tím :< budu vděčná za jakoukoli pomoc, asi jsem udělala v postupu nějakou chybu, zkoušela jsem na to jít leibnizovým kritériem ale to nikam nevedlo. Díky moc :<

Bati · 08. 12. 2014 22:36 — Editoval Bati (08. 12. 2014 22:39)

Ahoj.

Dá se zjednodušit na

Proč??

-1 na konvergenci nic nezmění

To je sice pravda, ale $\sum^{\infty}(-1)$ už to změní zásadně.

PS. Letmý pohled odhalí, že daná řada konverguje podle Leibnize.

kexholm · 08. 12. 2014 22:54

Lajbnic nám z hrobu posílá kritérium a kritérium říká že pokud posloupnost a_n je větší než 0 (splněno) $\color{green} \checkmark$ a limita v nekonečnu je nula (czech) $\color{green} \checkmark$ a posloupnost a_n je nerostoucí (kosínus není monotónní) $\color{red} \times$ . Takže Lajbnicovi do hrobu posílám díky ale nepomůže nám :<

Bati · 08. 12. 2014 22:59

Tam ale není kosinus, ale $1-\cos^2\left(\frac{\pi(-1)^n}{n}\right)=$(-1)^n\sin(\tfrac{\pi}n)$^2=\sin^2(\tfrac{\pi}n)$ , což monotónní je.

kexholm · 08. 12. 2014 23:04

Aha, ale nevidím proč jde předělat ten cos^2 na (sinx)^2?

Bati · 08. 12. 2014 23:06

↑ kexholm:
Tak si zopakuj Pythagorovu větu...

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2014 22:33

Konvergence alternující řady

#2 08. 12. 2014 22:36 — Editoval Bati (08. 12. 2014 22:39)

Re: Konvergence alternující řady

#3 08. 12. 2014 22:54

Re: Konvergence alternující řady

#4 08. 12. 2014 22:59

Re: Konvergence alternující řady

#5 08. 12. 2014 23:04

Re: Konvergence alternující řady

#6 08. 12. 2014 23:06

Re: Konvergence alternující řady

Zápatí