Matematické Fórum

Hypno · 09. 12. 2014 15:38

Dobrý den, bojuji už dlouho s tímto příkladem. Sice jsem se dobral k výsledku, ale celé se mi to nezdá. Mám pocit, že sem tam použil nějaké nesmyslné úpravy, tak doufám, že mě za to neukamenujete.
Děkuji :)
Zadání $\lim_{x\to0}x^{-2}\cdot (x\cdot cotgx - 1)$
Snažil sem se to upravit na tvar, abych dostal 0/0 a mohl použít L'Hospitala.
$\frac{x\cdot cotgx - 1}{x^{2}}$
$\frac{\frac{x\cdot cosx-sinx}{sinx}}{x^{2}}$
$\frac{x\cdot cosx-sinx}{x^{2}\cdot sinx}$
teď jsem dostal výraz 0/0, tak jsem použil L'Hospitala.
Derivace:
$\frac{cosx + x\cdot (-sinx)-cosx}{2x\cdot sinx+x^{2}\cdot cosx}$
odečtení cosx
$\frac{x\cdot (-sinx)}{2x\cdot sinx+x^{2}\cdot cosx}$
vytknutí x
$\frac{-sinx}{2sinx+x\cdot cosx}$
vytkl jsem sinx
$\frac{-1}{2+\frac{x\cdot cosx}{sinx}}=-\frac{1}{2}$

Jj · 09. 12. 2014 16:11 — Editoval Jj (09. 12. 2014 16:14)

↑ Hypno:

Dobrý den.

Řekl bych, že 'tady' vytknout x^2:

$\lim_{x\to 0} \frac{x\cdot (-sinx)}{2x\cdot sinx+x^{2}\cdot cosx}=\lim_{x\to 0} -\frac{\frac{sinx}{x}}{2\frac{sinx}{x}+ cosx}=\cdots$

Jinak ve jmenovateli vzniká další neurčitý výraz $x\cdot\cot x \sim 0\cdot \infty$ a výsledek nesedí.

Edit: Nebo uvedený výraz upravit na podíl $\frac{x}{tg x}$ jehož limita = 1.

Hypno · 09. 12. 2014 16:46

Chápu, že po vytknutí x^2 ještě mohu vytknout sinx/x a ve jmenovateli právě dostanu neurčitý výraz $x\cdot cotx$
ale nerozumím úpravě $\frac{x}{tgx}$ můžete mi jí prosím vysvětlit?

Jj · 09. 12. 2014 17:08

↑ Hypno:

Nebo jinak: $\lim_{x\to0}x \cdot \cot x = \lim_{x\to0}\frac{x\cos x}{\sin x}= \lim_{x\to0} \cos x \cdot \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1\cdot 1 = 1$

a pak podle Vašeho postupu $\lim_{x\to0}\frac{-1}{2+\frac{x\cdot cosx}{sinx}}=-\frac{1}{3}$

Pokud jsem se vyjádřil nejasně, tak v tom nic jiného nehledejte.

Hypno · 09. 12. 2014 17:15

Už je mi to jasné, děkuji moc :)

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2014 15:38

Limita funkce pomocí L'Hospitala

#2 09. 12. 2014 16:11 — Editoval Jj (09. 12. 2014 16:14)

Re: Limita funkce pomocí L'Hospitala

#3 09. 12. 2014 16:46

Re: Limita funkce pomocí L'Hospitala

#4 09. 12. 2014 17:08

Re: Limita funkce pomocí L'Hospitala

#5 09. 12. 2014 17:15

Re: Limita funkce pomocí L'Hospitala

Zápatí