Matematické Fórum

Fobl · 07. 12. 2014 00:18 — Editoval Fobl (07. 12. 2014 00:24)

Dobrý den.
Učím se na zápočtový test a nemůžu přijít na to, jak řešit tento příklad.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-12/07824_img304.jpg
Potřeboval bych osvětu.

Bati · 07. 12. 2014 00:27

Ahoj,
protože S je rovina, vnější normála u dS je konstantní vektor. Začni tím, že za něj dosadíš - dostaneš dvojnásobný integrál ze skalární funkce. Pak už je třeba vyřešit jen parametrizaci daného kousku roviny a meze.

Fobl · 07. 12. 2014 22:56 — Editoval Fobl (07. 12. 2014 22:58)

Dobrý den.
Přemýšlím nad tím, ale pořád si s tím nevím rady.
Napadá mě, že $x=\varrho\cdot\cos u$ , $y=\varrho\cdot \sin v$ , ale nevím jestli to je dobře. Příklady, co mám uvedeny ve skriptech, tak se v žádném z nich neobjevilo slovo oktant. Je to příklad z loňské zápočtové práce. A říkám si, čemu se bude rovnat dS.
Potřeboval bych naznačit trošku postup.
Děkuji.

Jj · 08. 12. 2014 08:34 — Editoval Jj (08. 12. 2014 08:35)

↑ Fobl:

Zdravím

Řekl bych, že první oktant v kartézské soustavě: $x,y,z\ge 0$

Fobl · 08. 12. 2014 23:05

Dobrý den.
Stále si s tím lámu hlavu, ale pořád nevím, jak začít.

Bati · 08. 12. 2014 23:07

↑ Fobl:
Už jsi to převedl na integrál ze skalární funkce, jak jsem radil?

Fobl · 09. 12. 2014 22:05

↑ Bati:
Dobrý den.
Nevím, jak to mám převést na integrál ze skalární funkce. Potřeboval bych naznačit postup. Jakmile bych měl dvojný integrál, tak doufám, že už bych snad věděl, jak dál postupovat.

Jj · 09. 12. 2014 22:50

↑ Fobl:

Snad se nepletu - n ve vzorci je jednotkový vektor normály plochy S, tj. roviny 2x+y+2z-6=0.

Z rovnice vyplývá normálový vektor (2,1,2) --> jednotkový vektor normály n(2/3,1/3,2/3). Takže bych řekl, že

$\iint_S \left(\frac{x+y^2}{2},-x,yz \right)\cdot \vec{n}\,dS=\iint_S \left(\frac{x+y^2}{2},-x,yz \right)\cdot \left(\frac{2}{3},\,\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\right)\,dS=$

$=\frac{1}{3}\iint_S (x+y^2-x+2yz)\,dS$

Fobl · 11. 12. 2014 17:30 — Editoval Fobl (11. 12. 2014 17:31)

Dobrý den.
Lámu si hlavu s tím, jak se došlo k tim třetinám.
Potom si říkám, jak dál postupovat. Napadá mě myšlenka:
$x=\varrho \cdot \cos t, \varrho \in [0, 1]$
$y=\varrho \cdot \sin t, \varrho \in [0, 2\pi ]$ , což je nespíš špatně.

Jj · 12. 12. 2014 09:57

↑ Fobl:

Ty třetiny vyplývají z úpravy normálového vektoru (2,1,2) o délce 3 na jednotkový vektor (o délce 1).

Řekl bych, že pro výpočet není nutná parametrizace.

Z rovnice zadané roviny plyne

$z = 3 - x - \frac{y}{2}, dS = \sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}\,dx\,dy= \sqrt{1+1^2+(1/2)^2}\,dx\,dy=\frac{3}{2}\,dx\,dy$

Po dosazení z, dS a mezí pro x, y v prvním oktantu:

$=\frac{1}{3}\iint_S (x+y^2-x+2yz)\,dS=\frac{1}{2}\int_{0}^{3}\int_{0}^{6-2x}\left(x+y^2-x+2y\left(3 - x - \frac{y}{2}\right)\right)\,dx\,dy$

Ale bylo by dobré, kdyby se na tento postup ještě někdo podíval.

Brano · 12. 12. 2014 11:31

este sa to da robit aj takto:

$\vec{n}dS=\vec{dS}=\left(\frac{\partial x}{\partial p},\frac{\partial y}{\partial p},\frac{\partial z}{\partial p}\right)\times\left(\frac{\partial x}{\partial q},\frac{\partial y}{\partial q},\frac{\partial z}{\partial q}\right)dpdq$ kde $p,q$ su zvolene parametre - v tomto pripade sa dalo volit rovno $x,y$ (pozor na poradie) cize
$\vec{dS}=(1,0,z'_x)\times(0,1,z'_y)dxdy=(-z'_x,-z'_y,1)dxdy$
pricom mame $z=3-x-y/2$ a dalej to je uz len dosadenie

(tento postup je v podstate len dosadenie do definicie bez toho, ze by sa nad tym bolo treba nejak extra zamyslat -t.j. vediet ze robis s rovinou a ako odcitat normalovy vektor atd)