Matematické Fórum

kafe_arabica

Ahoj.

Potrebujem poradiť, kde v nasledovnej úvahe je chyba.
Priestor ohraničených postupností nad reálnymi číslami je vektorový priestor, teda aj modul, za sčitovanie berieme pozložkové sčitovanie a násobenie skalárom ako pri štandardných konečnorozmerných vekt. pr. Za bázu tohto priestoru môžeme vziať postupnosti typu (1,0,0,....); (0,1,0,0,...) etc. Teda ide o voľný modul.
Vždy hovorím o ľavých moduloch.
Definícia, modul E nad okruhom A nazveme voľným, ak existuje izomorfizmus $u:A^{(T)}\to E$ , kde $A^{(T)}:= \oplus_{\iota\in T} A_\iota$ , pričom $A_\iota=A$ .
Tzn., že existuje izomorfizmus $u:\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}\to Post$ , kde Post je priestor ohraničených postupností.
A tu nastáva moment, kedy neviem, čo je správne. V priestore Post mám postupnosť, ktorá nemá konečný nosič, ale v priestore R^(N) sú postupnosti len s konečným nosičom, a predsa sú tieto priestory izomorfné.

Je chyba v tom, že z tej bázy sa nedá vygenerovať celý priestor Post? Lebo mám taký pocit, že konečnými lin. kombináciami nedosiahnem celý priestor...
Na druhej strane, vo funkcionálnej analýze sa takáto báza štandardne uvažuje. Hamelova báza hovorí o konečnom nosiči pre každý prvok priestoru, má to s tým súvis?

Prečo algebra pracuje tak často s priamym súčtom a nepáči sa jej priamy súčin?

Rumburak

↑ kafe_arabica:
Ahoj.

Lebo mám taký pocit, že konečnými lin. kombináciami nedosiahnem celý priestor...

To je správný pocit. :-) Do lineárního obalu (v algebraickém smyslu) množiny

(1) $\{(1,0,0,....); (0,1,0,0,...) ; ... \}$

patří právě všechny takové posloupnosti, které mají pouze konečný počet nenulových členů.

Existence báze prostoru všech omezených posloupností plyne z axiomu výběru, ale najít nějakou takovou
konkretní jistě nebude triviální (řešení neznám).

Na druhej strane, vo funkcionálnej analýze sa takáto báza štandardne uvažuje.

Můžeš uvést příklad? Myslím, že máš na mysli Schauderovy báze, kde za "lineární kombinaci" připouštíme nejen
konečný součet, ale obecněji i součet konvergentní nekonečné řady (za předpokladu, že na uvažovaném prostoru
je vedle algebraické struktury definována vhodná struktura topologická). Množina (1) je pak Schauderovou bází
prostoru posloupností s konvergentní řadou (pokud se nepletu - už delší dobu jsem se funkcionální analýzou
nezabýval).

Hamelova báza hovorí o konečnom nosiči pre každý prvok priestoru,

Nevím, co máš na mysli pod Hamelovu bazí a konečným nosičem. Mám dojem, že HB je báze, k níž dojdeme,
jestliže daný LP nad tělesem reélných čísel začneme vnímat jako LP nad tělesem racionálních čísel.
Potom každou bázi "nad tělesem reálných čísel" lze rozšířit na Hamelovu bázi "nad tělesem racionálních čísel",
obecně ale ne naopak (protože množina lineárně nezávislá "nad tělesem reálných čísel" je lineárně nezávislá i
"nad tělesem racionálních čísel", ale ne nutně naopak). Souvislost zde proto nevidím .

V té algebraické symbolice se nevyznám.

kafe_arabica · 25. 08. 2014 19:15

Ďakujem za odpoveď.

Nosičom pre postupnosť $(x_1,x_2,...)$ rozumieme množinu $\{ i\in\mathbb{N} | x_i\neq 0, (x_1,...,x_i,...)\}$ .
Nosič je konečný, ak tá množina je konečná.

Hamelova báza pre vektorový priestor V je množina $B\subset V$ taká, že je lineárne nezávislá a generuje priestor V, v zmysle: $(\forall x\in V)(\exists c_1,...,c_n\in P)(\exists b_1,...,b_n\in B):x=c_1b_1+...+c_nb_n$ , kde P je pole, nad ktorým uvažujeme vekt. pr. Pomocou axiómy o výbere sa dá ukázať, že takáto báza existuje pre každý vektorový priestor.

Každý vektorový priestor V nad poľom P je aj voľný modul, a teda musí existovať izomorfizmus "u" priestoru V do priestoru $A^{(T)}:= \oplus_{\iota\in T} A_\iota$ , pričom $A_\iota=P$ pre všetky $\iota$ a $\oplus$ je priamy súčet. Pomocou kanonickej injekcie $j_\iota:A_\iota\to A^{(T)}$ pre každé iota vytvoríme v priestore $A^{(T)}$ bázu a to tak, že pre každé iota zobrazíme jednotku: $j_\iota(1)$ .

Toto aplikované na konkrétny príklad, ten s postupnosťami, dostaneme:
$\mathbb{R}^\mathbb{(N)}=\bigoplus_{\iota\in\mathbb{N}} \mathbb{R}$
$u:\mathbb{R}^\mathbb{(N)}\to Post$
$j_\iota(1)=(0,0,...,0,1,0,...)$ , kde 1 na iota-om mieste.
Tzn., že báza v priestore Post je typu $u(0,0,...,0,1,0,...)$ , ale to je prakticky znova to isté $(0,0,...,0,1,0,...)$ .
A teraz tá záľudná otázka. Táto báza v priestore $\mathbb{R}^\mathbb{(N)}$ stačí, lebo tam sú len postupnosti s konečným nosičom (vďaka priamemu súčtu). Ale táto báza už nestačí v priestore Post.
Kde je chyba? Lebo tá báza by mala stačiť aj v priestore Post, čo vyplýva z toho, že Post je voľný modul.

OiBobik

↑ kafe_arabica:

Ahoj,

co není vidět na první pohled (resp. člověk to tak nějak tuší, ale není vidět skutečně důvod), ale je to pravda, je, že

dimenze $Post$ jakožto $\mathbb{R}$ -lineárního prostoru je nespočetná.

Jak na to: stačí najít nějakou nespočetnou, lineárně nezávislou množinu v $Post$ .

Pro $\alpha \in (0, 1)$ definujeme $x_n^\alpha:=n^{-\alpha}$ . Pak $\{x_n^\alpha\}_{n \in \mathbb{N}}$ jsou dokonce posloupnosti jdoucí k nule, speciálně jsou omezené, tedy prvky $Post$ .

Teď ta jejich lineární nezávislost: konečná lineární kombinace těchto je tvaru $y_n=\sum_{i=1}^k r_i x_n^{-\alpha_i}$ . Předpokládejmě že $\alpha_i$ jsou po dvou různá a všechna $r_i$ jsou nenulová reálná čísla. Pak chceme nahlédnout, že $\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \neq (0, 0, 0, \dots )$ .

Nechť búno je $\alpha_1$ nejmenší z $\alpha_1, \dots, \alpha_k$ Pak

To by nebylo možné, kdyby $\{y_n\}=(0, 0, 0, \dots)$ , jelikož $r_1 \neq 0$ .
Našli jsme tedy nespočetnou lineárně nezávislou množinu (dokonce víme i kardinalitu, a to $\mathfrak{c}$ ). Ta půujde Zornovým lemmatem rozšířit na bázi. Mohutnost této báze, tedy i dimenze, bude nějaké $\kappa \geq \mathfrak{c}=2^{\omega}$ .

Tady je vidět chyba ve tvojí úvaze: dimenze $Post$ je nespočetná, tedy dokonce není možné mít surjektivní homomorfismus $\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}\rightarrow Post$ .

Bude existovat nějaký surjektivní homomorfismus $\mathbb{R}^{(\kappa)} \rightarrow Post$ , ale bude dán stejně ošklivě, jako báze $Post$ , tj. nějak "nedostupně" pomocí Zornova lemmatu.

EDIT: Teď mě tak napadá, že vlastně je to vidět na první pohled, že dimenze $Post$ je nespočetná: Stačí koukat na kardinalidu $\mathbb{R}^{(\mathbb{N})}$ a $Post$ . Ta první je docela snadno $=\mathfrak{c}$ , kdežto ta druhá je $\geq 2^\mathfrak{c}>\mathfrak{c}$ , jelikož $Post$ obsahuje $2^\mathbb{R}$ (dokonce by mělo jít ukázat, že jde o rovnost).