Matematické Fórum

radekm · 12. 12. 2014 14:19 — Editoval radekm (12. 12. 2014 14:37)

Potřeboval bych pomoci s následujícím příkladem

Má to vyjít 3e. Věta o aritmetice limit nefunguje, protože výraz $\infty \cdot (e - e)$ není definován. Ještě jsem zkoušel přičíst a odečíst 1 a rozložit dle vzorce $a^n - b^n$ .

Marian · 12. 12. 2014 14:22

↑ radekm:

Mělo by pomoct spíše přičíst a odečíst ono "e" a teprve potom rozdělit na dvě dílčí limity. Jak se ukáže, obě budou existovat. To umožní dále aplikovat větu o aritmetice limit posloupností.

radekm · 12. 12. 2014 16:39

Díky za odpověď. Jenže spočítat

se mi též nedaří

Pavel · 12. 12. 2014 17:27

↑ radekm:

Doporučují se inspirovat zde

Brano · 12. 12. 2014 17:33

Na tomto priklade sa pekne ukazuje sila Taylorovych rozvojov - netreba ani velmi rozmyslat staci dosadzat

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+2}=\exp\left((n+2)\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=\exp\left((n+2)\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\right)=$
$=\exp\left(1+\frac{3}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)=e\left(1+\frac{3}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)$
podobne pre $\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n$ len v uprevach je vhodne pouzit $k=n+1$ a dostaneme
$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=e\left(1-\frac{3}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)$
takze
$n\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+2}-\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\right]=3e+o(1)\to 3e$