Matematické Fórum

holcina.16 · 11. 12. 2014 20:15

Dobrý den,

mohl by mi někdo pomoci s výpočtem tohoto příkladu?

Určete objem tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené čarami
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}$
$x=0$
$y=0$

Jj · 11. 12. 2014 21:12

↑ holcina.16:

Dobrý den.

K kolem čeho má uvedená oblast rotovat ?

Argcotgh x · 11. 12. 2014 21:25

Výpočet objemu rotačního tělesa, vytvořeného rotací obrazce tvořeného grafem funkce kolem osy x:

V = pí . ∫ (od a do b) f^2 (x) dx

V našem případě

√y = √2 - √x
y = 2 - 2√2x - x

f^2(x) = y^2 = (2 - 2√2x - x)^2, po úpravách = x^2 + 4x +4 - 8√2x

Dolní mezí bude podle zadání evidentně 0.

Horní mezí by mohla být dvojka - vyhovuje rovnici x^2 + 4x +4 - 8√2x = 0 (zjištěno zkusmo).

Integrál je jednoduchý, prostě se polynom x^2 + 4x +4 - 8√2x zintegruje člen po členu jako součet, tady problém není.

holcina.16 · 12. 12. 2014 16:00

↑ Jj: Právě nemám zadáno, kolem které osy rotuje.

Argcotgh x · 12. 12. 2014 16:03

A nebude on, vzhledem k "symetričnosti" předpisu funkce a daným mezím, integrál resp. objem rotačního tělesa stejný i pro případnou rotaci kolem osy y ?

Jj · 12. 12. 2014 16:25

Zdravím ↑ holcina.16:, ↑ Argcotgh x:

Já jsem se ptal na osu rotace vlastně jen proto, že mohla být v zadání uvedena nějak obecněji a při opisování zadání to mohlo vypadnout.

Pokud skutečně osa rotace nebyla zadána, tak zřejmě nejlépe postupovat podle rady kolegy 'Argcoth x'.

holcina.16 · 12. 12. 2014 18:03

↑ Argcotgh x: A nebude v tom y=.... +x místo -x jak píšete?

holcina.16 · 12. 12. 2014 18:11

↑ Jj:a nebude v tom y=.... +x místo -x,

Argcotgh x · 12. 12. 2014 18:28

No, když vezmu = √x + √y = √2, tak hned vidím, že √y = - √x + √2 = √2 - √x

Umocnění provedu podle vzorce (a-b)^2 = a^2 - 2.a.b + b^2, tj. (√2 - √x)^2 = 2 - 2(√2x) + x

Po roznásobení na druhou: (2 - 2(√2x) + x) .(2 - 2(√2x) + x) =

= 4 - 4.2.x + 2x - 4.2.x + 2x(√2x) + 2x - 2(√2).x.(√x) + x^2 =

= x^2 -8x + 2x - 8x + 2x + 4 + 2x(√2x) - 2x(√2x) =

= x^2 - 12 x + 4

holcina.16 · 12. 12. 2014 18:32

↑ Argcotgh x: Ano, ale vy jste psal, že $y=2-2\sqrt{2}-x$ . Mě to totiž vychází jinak :( a když jsem koukala do programu na netu, tak to tam taky vychází jinak. ale objem mi vyšel 8/15 krát pí.

holcina.16 · 12. 12. 2014 18:34

↑ Argcotgh x:mě právě to na druhou vychází 4-8√2.√x+12x+x^2-4x.√2.√x

holcina.16 · 12. 12. 2014 18:35

↑ Argcotgh x:vychází mi to takto http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 2Bx%29%5E2

Argcotgh x · 12. 12. 2014 18:45

Aha, už to vidím, seknul jsem se ve znaménku. Jinak při výpočtu objemu rotačního tělesa je potřeba integrál vynásobit pí a jako integrand dosadit 2.mocninu funkce. Výsledek taky bude hodně záviset na integračních mezích integrálu.

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2014 20:15

Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#2 11. 12. 2014 21:12

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#3 11. 12. 2014 21:25

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#4 12. 12. 2014 16:00

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#5 12. 12. 2014 16:03

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#6 12. 12. 2014 16:25

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#7 12. 12. 2014 18:03

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#8 12. 12. 2014 18:11

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#9 12. 12. 2014 18:28

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#10 12. 12. 2014 18:32

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#11 12. 12. 2014 18:34

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#12 12. 12. 2014 18:35

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

#13 12. 12. 2014 18:45

Re: Výpočet objemu pomocí určitého integrálu

Zápatí