Matematické Fórum

Argcotgh x · 12. 12. 2014 19:02

Ahoj, mohl bych poprosit o zkontrolování řešení tohoto příkladu?

Zadání:
Určete, kdy je matice regulární a spočtěte element její inverzní matice na pozici 1 1 a na pozici 1 n.

Matice:

| x y 0 .........0 |
| 0 x y 0 ......0 |
| 0 0 x y ......0 |
| . . |
| . . |
| . 0 |
| 0 x y |
| y 0........... 0 x |

Řešení:

Hlavní překážkou je y na pozici (1,n).

Zkusím matici upravit:

prohodíme 3. a poslední řádek:

| x y 0 0.......0 |
| 0 x y 0 ......0 |
| y 0........... 0 x |
| . . |
| . . |
| . . |
| 0 x y |
| 0 0 x y ...... 0 |

mohli bychom provádět další sloupcové a ev.řádkové úpravy, ale nevedly by k cíli.

"Nadbytečného" y v posledním řádku se zbavíme, položíme-li y = 0. Potom:

| x 0 0 .........0 |
| 0 x 0 0 ......0 |
| 0 0 x 0 ......0 |
| . . |
| . . |
| . 0 |
| 0 x 0 |
| 0 0........... 0 x |

Pokud nyní x se nerovná 0 (a podle výše uvedeného y se rovněž nerovná 0), matice je regulární a její determinant je x^n, tj. součin prvků x na hlavní diagonále s nulovými nediagonálními prvky.

Převrácená hodnota 1/ |A| je x^(-n).

Protože řádkové a sloupcové indexy jsou "převrácené", pak element inverzní matice na pozici 1 1 by měl být subdeterminantem tvořeným předposledním a posledním řádkem a sloupcem matice, vydělené determinantem soustavy |A|, tedy

Â,11 = x^(-n) . | x 0 | = x^(-n) . x^2 = x^(2-n)
| 0 x |

element inverzní matice na pozici 1 n by měl být subdeterminantem tvořeným prvními dvěma prvky předposledního a posledního řádku a prvního a druhého sloupce matice, vydělené determinantem soustavy |A|, tedy

Â,1n = x^(-n) . | 0 0 | = 0
| 0 0 |

(ale tady si nejsem moc jistý výsledkem; taky nevím, zda jsem vzal správný subdeterminant).

Předem díky za kontrolu a případnou pomoc s řešením.

jelena · 13. 12. 2014 18:17

Zdravím,

jen takové drobné poznámky:

a) nevidím vyslovení podmínky "kdy je matice regulární" + zda na to bylo odpovězeno,
b)

"Nadbytečného" y v posledním řádku se zbavíme, položíme-li y = 0. Potom:...

to se může jen tak? Původní matici tak je úplně změněna?

Pokud nyní x se nerovná 0 (a podle výše uvedeného y se rovněž nerovná 0),

v předchozím kroku ale je něco jiného?

Závěr jsem nejspíš nerozluštila (k zadání - zápis "spočtěte element její inverzní matice na pozici 1 1 a na pozici 1 n" značí hledáme element $a^{-1}_{1,1}$ a $a^{-1}_{1,n}$ , pokud použijeme označení z hlavního webu (jen jsem doplnila čárku)? Editor TeX pořád zlobí? Děkuji.

Argcotgh x · 13. 12. 2014 18:36

Ahoj, dík za odpověď.

ad a) vyslovení podmínky "kdy je matice regulární" bylo hned na začátku; odpovědí, podle mě, je tehdy, když y = 0 a dále x se nerovná nule, pak by byl determinant nulový a matice nebyla regulární.

Položením y = 0 se sice matice zcela změní, ale to myslím zadáním nebylo nijak "zakázáno".

To s tím "y se rovněž nerovná 0" byla chyba, samozřejmě má být y = 0.

Rozuzlení je takovéto a podle mě je správné:

Protože řádkové a sloupcové indexy jsou "převrácené", pak element inverzní matice na pozici 1 1 by měl být subdeterminantem tvořeným předposledním a posledním řádkem a sloupcem matice, vydělené determinantem soustavy |A|, tedy

Â,11 = x^(-n) . | x 0 | = x^(-n) . x^2 = x^(2-n)
| 0 x |

element inverzní matice na pozici 1 n by měl být subdeterminantem tvořeným prvními dvěma prvky předposledního a posledního řádku a prvního a druhého sloupce matice, vydělené determinantem soustavy |A|, tedy

Â,1n = x^(-n) . | 0 0 | = 0
| 0 0 |

LaTex pořád zlobí, ihned přesměrovává na hlavní stránku.

jelena · 13. 12. 2014 21:29

↑ Argcotgh x:

také děkuji, ale to je jen jeden dílčí případ, že pro y=0 je matice regulární (to bych neviděla jako celé řešení). A navíc to není vyslovení podmínky (předpokladu k řešení).

Rozuzlení je takovéto a podle mě je správné

:-) tak to bych se musela vzchopit a pokusit se najít propisku a něco použitelného na psaní, abych si to ověřila.

LaTex pořád zlobí, ihned přesměrovává na hlavní stránku.

Jsem na jiné počítači, než jsem zkoušela včera, používám FF, ale nezlobí - tak nevím, co bys provedl (např. piš bez Editoru + se poptej v tématu ohledně Editoru).

Matematické Fórum

#1 12. 12. 2014 19:02

Determinant a prvky inverzní matice

#2 13. 12. 2014 18:17

Re: Determinant a prvky inverzní matice

#3 13. 12. 2014 18:36

Re: Determinant a prvky inverzní matice

#4 13. 12. 2014 21:29

Re: Determinant a prvky inverzní matice

Zápatí