Matematické Fórum

klinki · 13. 12. 2014 20:47 — Editoval klinki (13. 12. 2014 20:54)

Zdravím,

už hrozně dlouho si tu lámu hlavu nad tímto úkolem:

Najděte množinu bodů, ve kterých je tečná rovina ke grafu funkce $f(x,y) = 4 + \frac{x^3}{6} + \frac{(y-3)^3}{9}$ kolmá na vektor (-2, -3, 1).

Zatím jsem si vyjádřil obecnou rovnici roviny, což je:

A rovnice normálového vektoru je:
$(\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial(x)}(a, b), \frac{\partial{f(x,y)}}{\partial(y)} (a, b), -1)$

Rovina je kolmá na normálový vektor, takže můžu považovat ten zadaný vektor za normálový. Akorát je potřeba upravit znaménka buď ve výrazu nahoře, nebo ve vektoru. Snažší to bude ve vektoru. Takže hledám vektor (2,3,-1).

Spočítal jsem si parciální derivace

$\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial(x)} = \frac{x^2}{2}$
v bodě [a,b] má vyjít 2
$\frac{a^2}{2} = 2$

takže

$a = \pm 2$

$\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial(y)} = \frac{(y-3)^2}{3}$

v bodě [a,b] má vyjít 3
$\frac{(b-3)^2}{3} = 3$

takže mám 2 řešení:
$b_1 = 0, b_2 = 6$

Co teď s tím dál? Předpokládám, že bych měl tyto body dosadit do obecné rovnice roviny. To jsem zkoušel, ale bohužel mi nikdy nevyšlo z. (Pokud si tedy můžu spočítat kontrolu tak, že do té obecné rovnice roviny dosadím souřadnice x a y zadaného vektoru a měl bych získat z, které by mělo být shodné se z vektoru).

Jak to teď píšu tak mi došlo, že tu kontrolu, kterou jsem chtěl udělat, takto dělat nemůžu. Protože se snažím nacpat souřadnice vektoru na místo, kam patří souřadnice bodu...

Jak tedy postupovat dál?

Jj · 13. 12. 2014 21:44 — Editoval Jj (13. 12. 2014 21:45)

↑ klinki:

Dobrý večer.

Řekl bych, že postupujete dobře, jen si to potřebujete "srovnat".

Do obecné rovnice tečné roviny dosazujte "na příslušná místa" složky vektoru (2,3,-1) - ve všech rovnicích roviny stejné, a nalezené (x, y) souřadnice bodů, v nichž má normálový vektor potřebný směr - řešení máte čtyři: (2,0), (-2,0), (2,6), (-2,6) - tzn. jeden do každé rovnice --> čtyři rovnice.

Např.:

$2(x-2)+3(y-0)-1 + \frac{7}{3}=0$

atd.

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2014 20:47 — Editoval klinki (13. 12. 2014 20:54)

Tečná rovina

#2 13. 12. 2014 21:44 — Editoval Jj (13. 12. 2014 21:45)

Re: Tečná rovina

Zápatí