Matematické Fórum

casey · 07. 03. 2009 13:22

Mam tu 3 rovnice, ktere se resi v oboru komplexnich cisel. Tak prosim o radu (budu rada i za postup):

a) x^3 - 2x^2 - 3x = 0
b) x^3 - 6x^2 + x - 6 = 0
c) x^3 - 5x^2 + 3x - 15 = 0

lukaszh · 07. 03. 2009 13:39

↑ casey:
Ukážem ti postup pri prvej a zvyšok si vyskúšaj ty. Prvá je najjednoduchšia :-) a na začiatku stačí vybrať x pred zátvorku

Uvedená rovnosť platí, ak sa zátvorka rovná nule alebo x sa rovná nule. Riešim preto dve rovnice
$x=0\;\vee\;x^2-2x-3=0$
pričom prvá z nich je zrejme pre neandrtálca :D Tá druhá je kvadratická a riešim ju cez vzorec
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Ak má rovnica záporný diskriminant, čo nie je tento prípad, tak použi
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\rm{i}\sqrt{|b^2-4ac|}}{2a}$

casey · 07. 03. 2009 13:48

Jeste mi prosim ukaz zacatek postupu te druhe rovnice

Miki1990

ten druhej:
$x^3 - 6x^2+x-6 = 0$
$-6 (x^2+1)+x(x^2+1) = 0$
$(x^2+1)(x-6) = 0$
dál už snad víš ... výsledek x = 6

Miki1990 · 07. 03. 2009 14:51

a tady máš tu třetí, stejný princip jako druhá rovnice:
$x^3+3x - 5x^2-15 = 0$
$x (x^2+3)-5(x^2+3) = 0$
a dál vytkneš $x^2+3$ a už to znáš, ne? výsledek x = 5

lukaszh · 07. 03. 2009 14:54

↑ Miki1990:
Ale nie len x = 5. Taktiež pri druhom nie len x = 6.

Miki1990

možná máš pravdu, ale
$x^2+3 = 0$
$x^2=-3$
a pokud vím, tak neexistuje žádné $x^2$ , které se rovná zápornému číslu, ne? :)

//a teď koukám, že v oboru komplexních čísel ... to bude asi ono :)) to moc neumim ...

casey · 07. 03. 2009 15:02

Me vyslo:

a) x = 0, x = 3, x = -1
b) x = 6, x = +i, x = -i
c) x = 5, x = +druha odmocnina ze 3 i, x = -druha odmocnina ze 3 i

Tak snad je to spravne

lukaszh · 07. 03. 2009 15:03

↑ Miki1990:
Rovnica sa má riešiť na obore komplexných čísel, kde si definované aj odmocniny záporných čísel. Ak ešte komplexné čísla nepoznáš, tak základnou myšlienkou je
$\sqrt{-1}=\rm{i}$
Teda ak máš
$x^2+3=0$
zo vzorca pre komplexné korene kvadratickej rovnice platí
$x_{1,2}=\pm\frac{\rm{i}\sqrt{12}}{2}=\pm\rm{i}\sqrt{3}$

Miki1990 · 07. 03. 2009 15:18

Jasně, už to chápu, děkuju :) ... znám komplexní čísla, ale nikdy jsem jim nepřišla na chuť, takže by mi to nenapadlo :)

Matematické Fórum

#1 07. 03. 2009 13:22

rovnice v oboru komplexnich cisel

#2 07. 03. 2009 13:39

Re: rovnice v oboru komplexnich cisel

#3 07. 03. 2009 13:48

Re: rovnice v oboru komplexnich cisel

#4 07. 03. 2009 14:43 — Editoval Miki1990 (07. 03. 2009 14:45)

Re: rovnice v oboru komplexnich cisel

#5 07. 03. 2009 14:51

Re: rovnice v oboru komplexnich cisel

#6 07. 03. 2009 14:54

Re: rovnice v oboru komplexnich cisel

#7 07. 03. 2009 14:58 — Editoval Miki1990 (07. 03. 2009 14:59)

Re: rovnice v oboru komplexnich cisel

#8 07. 03. 2009 15:02

Re: rovnice v oboru komplexnich cisel

#9 07. 03. 2009 15:03

Re: rovnice v oboru komplexnich cisel

#10 07. 03. 2009 15:18

Re: rovnice v oboru komplexnich cisel

Zápatí