Matematické Fórum

malarad · 13. 12. 2014 22:11

Dobrý večer,
prosím o vysvětlení, jak mám spočítat:
Dva rovnostranné trojúhelníky si odpovídají v otočení o středu v jejich těžišti a úhlu otočení $60^\circ$ . Vyjádřete obsah jejich sjednocení pomocí poloměru $r$ kružnice trojúhelníkům opsané.
Výsledek je $\sqrt{3} r^{2}$
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-12/04959_P1060315.JPG

misaH · 13. 12. 2014 23:27

↑ malarad:

Dá sa postupovať rôzne.

Obsah zjednotenia je rovný obsahu 12 maličkých trojuholníkov, tých, čo trčia okolo šesťuholníka.

Polomer opísanej kružnice je výška rovnostranného trojuholníka zloženého zo 4 maličkých trojuholníkov.

Z Pytagorovej vety strana toho trojuholníka je $\frac {2\sqrt 3}{3} r$ .
Jeho obsah je potom $\frac {\sqrt 3}{3}r^2$ .
Tento obsah zodpovedá 4 malým trojuholníčkom, všetkých trojuholníčkov je v hľadanom obsahu 12, teda trikrát viac, čiže $\sqrt 3 r^2$ .

mrjoser

↑ misaH:

Já nechci nijak zpochybňovat tvůj výsledek, přeci jenom vyšel podle požadavků tazatele.
Nicméně se nemohu zbavit dojmu, že je to špatne :)

Můj postup: Díky opsané kružnici můžeme říci, že obsah celého velkého trojúhelníka je: $S=2r^2sin\alpha sin\beta sin\gamma =2r^2sin^360°=3\frac{\sqrt{3}r^2}{4}$

3 malé trojúhelníčky které potom přebývají mají stranu $\frac{\sqrt{3}r}{3}$ a jejich obsah je tedy: $S=\frac{1}{2}sin(60°)a^2=\frac{\sqrt{3}}{12}r^2$
3 takové trojúhelníky dají dohromady: $\frac{\sqrt{3}r^2}{4}$ a to když odečtu od obsahu velkého trojúhelníka, dostanu: $\frac{\sqrt{3}r^2}{2}$

Podle mě je moje řešení korektní, takže nevím kde je chyba :D

malarad · 14. 12. 2014 00:00

děkuji Míše a Joserovi za odpověď!
Avšak pro Josera: ten výsledek, který jsem uvedl v úvodní otázce i který vyšel Míše je uveden i ve výsledku. Je to sbírka ČVUT, snad by to mělo být dobře...

misaH · 14. 12. 2014 00:04 — Editoval misaH (14. 12. 2014 00:06)

↑ malarad:

Chyba je v tom, že bolo treba vyrátať obsah zjednotenia tých trojuholníkov a nie obsah šesťuholníka.

Joser mal sčitovať a nie odčitovať.

jarrro · 14. 12. 2014 00:09

najprv sa dohodnite čo počítate v zadaní sa píše obsah zjednotenia teda tam treba započítať aj tie "trčiace" trojuholníky neviem prečo malarad začervenil len ten šesť uhollník

malarad · 14. 12. 2014 00:28

↑ jarrro:
Omlouvám se, ano, má být zvýrazněno i těch 6 trčících trojúhelníků.

malarad · 14. 12. 2014 11:48

Ještě bych poprosil o nějaký odkaz, kde je znázorněno toto.
"Polomer opísanej kružnice je výška rovnostranného trojuholníka zloženého zo 4 maličkých trojuholníkov. "
děkuji

misaH · 14. 12. 2014 13:26

↑ malarad:

Spoj stred šesťuholníka s bodom C.

To je polomer opísanej kružnice.

Keď urobíš v tom strede kolmicu na výšku, dostaneš stranu trojuholníka, na ktorý sa pýtaš.

Celý červený šesťuholník sa skladá zo 6 rovnakých maličkých rovnostranných trojuholníkov.

Trojuholník na ktorý sa pýtaš, obsahuje také trojuholníky 4.

malarad · 14. 12. 2014 16:04

↑ misaH:
děkuji pěkně Míša

misaH · 14. 12. 2014 16:04

↑ malarad:

:-)

Eratosthenes · 14. 12. 2014 16:17

ahoj ↑ malarad:,

vzoreček pro obsah kružnice opsané rovnostrannému trojúhelníku jistě vygoogluješ. A pokud jde o obsah té židovské hvězdy - jeden její cípek je rovnostranný trojúhelník, který má třetinové rozměry oproti původnímu trojúhelníku. Takže jeho obsah je 1/9 obsahu původního trojúhelníka. A celá hvězda se skládá ze dvanácti takových trojúhelníků. Obsah hvězdy je tedy 12/9 = 4/3 obsahu původního trojúhelníka.

misaH · 14. 12. 2014 16:24

↑ Eratosthenes:

Obsah kružnice?

Eratosthenes · 14. 12. 2014 17:13

↑ misaH:

...ten je nulový. Myslel jsem samozřejmě kruhu :-)

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2014 22:11

Planimetrie

#2 13. 12. 2014 23:27

Re: Planimetrie

#3 13. 12. 2014 23:42 — Editoval mrjoser (13. 12. 2014 23:47)

Re: Planimetrie

#4 14. 12. 2014 00:00

Re: Planimetrie

#5 14. 12. 2014 00:04 — Editoval misaH (14. 12. 2014 00:06)

Re: Planimetrie

#6 14. 12. 2014 00:09

Re: Planimetrie

#7 14. 12. 2014 00:28

Re: Planimetrie

#8 14. 12. 2014 11:48

Re: Planimetrie

#9 14. 12. 2014 13:26

Re: Planimetrie

#10 14. 12. 2014 16:04

Re: Planimetrie

#11 14. 12. 2014 16:04

Re: Planimetrie

#12 14. 12. 2014 16:17

Re: Planimetrie

#13 14. 12. 2014 16:24

Re: Planimetrie

#14 14. 12. 2014 17:13

Re: Planimetrie

#15 15. 12. 2014 17:29 Příspěvek uživatele denism byl skryt uživatelem jelena. Důvod: OT, samostatné téma

Zápatí