Matematické Fórum

Argcotgh x · 13. 12. 2014 20:10

Ahoj,

podobný problém se řeší v sousedním fóru, nicméně jej napíšu sem:

Mají se určit lokální extrémy funkce y = e^x .sin x.

1.derivace: y´ = e^x . sinx + e^x . cos x = e^x . (sin x + cos x).

Protože e^x je vždy >0, musí být 0 = (sin x + cos x)

sin x = - cos x

Grafy funkcí sin x a (- cos x) se protínají v bodech pí/4 a 3/4 pí, tj. (2k+1). pí/4. To by měly být extrémy původní funkce.

2.derivace:

(e^x.sin x + e^x.cos x)´ = e^x.sin x + e^x.cos x + e^x.cos x - e^x.sinx = 2 e^x cos x

cos pí/4 > 0, v bodě pí/4 dosahuje funkce minima.

cos 3/4 pí < 0, v bodě 3/4 pí dosahuje funkce maxima.

jelena · 13. 12. 2014 21:51

Další pozdrav,

řešení rovnice $\sin x = - \cos x$ ještě překontroluj (lze graficky, nebo jelikož cos(x) není 0, lze celou rovnici cos(x) vydělit). Výraz $e^x(\sin x + \cos x)$ se derivuje možná pohodlněji. V samotném postupu jsem problém nenašla.

Argcotgh x · 14. 12. 2014 14:56

Zrada! Položil jsem derivaci = 0, tj. e^x . (sin x + cos x) = 0 a ta je na intervalu (-2 pí, 2 pí) nulová jen v -5/4 pí, -1/4 pí, 3/4 pí a 7/4 pí. Funkce y = e^x .sin x tedy nabývá extrému jen pro (4k -1)*pí/4.

jelena · 14. 12. 2014 15:26

↑ Argcotgh x:

pokud tomu rozumím, opravil jsi řešení rovnice $\sin x = - \cos x$ .

-5/4 pí, -1/4 pí, 3/4 pí a 7/4 pí

ale toto pořád není dobře - tak? Nechceš to nejdřív udělat na jednotkové kružnici (tedy od 0 do 2pi)?

Argcotgh x · 14. 12. 2014 15:36

Právě že jsem v Excelu zkoumal hodnoty derivace, tj. e^x . (sin x + cos x), pro x z (-2pí, 2 pí) a nulové hodnoty dosáhl pouze právě v těchto 4 bodech.

jelena · 14. 12. 2014 15:51

↑ Argcotgh x:

ano, už rozumím. Když si vezmu jednotkovou kružnici, tak "standard" orientovaný úhel proti ručičkám dává 3/4 pí a 7/4 pí, tedy (3/4)pi+kpi. Na jednotkové kružnici po ručičkám stejným úhlům odpovídají -5/4 pí, -1/4 pí.

Napiš si, prosím, jen x=(3/4)pi+kpi. Totiž Pro původní funkci y = e^x .sin x
(-2pí, 2 pí) jsou 2 periody, osobně bych zapsala vyšetření jen na jedné periodě - např na -pi, pi nebo na 0, 2pi.

Právě že jsem v Excelu zkoumal hodnoty derivace

:-) s MFF UK v profilu zkoumat něco v EXCELu?

Argcotgh x · 14. 12. 2014 16:08

Ano, pracovat na MFF s excelem je ostuda, nicméně jsem na něj zvyklý a v pokročilejších programech zatím nejsem tolik zběhlý.

jelena · 14. 12. 2014 16:32

↑ Argcotgh x:

V pořádku, jen pro pořádek - vyšetření již je jasné? (že jen na jedné periodě a potom rozšířit na celý def. obor, jinak jsou zbytečné kroky navíc, co žádnou informaci k vyšetření nedoplní).

Jinak - raději se drž vašich materiálů, přeci jen MFF je úplně jiná třída, než ta moje. Zdary přeji.

Argcotgh x · 14. 12. 2014 16:37

Jasně, to je pravda, nejlépei vzít minimální periodu. Takže výsledek je asi nejsprávnější 3/4 pí + k. pí.

jelena · 14. 12. 2014 17:09

↑ Argcotgh x:

tedy na jedné periodě od 0 do 2pi vyšetříš (3/4)pi a (7/4)pi.

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2014 20:10

Extrémy funkce e^x.sin x

#2 13. 12. 2014 21:51

Re: Extrémy funkce e^x.sin x

#3 14. 12. 2014 14:56

Re: Extrémy funkce e^x.sin x

#4 14. 12. 2014 15:26

Re: Extrémy funkce e^x.sin x

#5 14. 12. 2014 15:36

Re: Extrémy funkce e^x.sin x

#6 14. 12. 2014 15:51

Re: Extrémy funkce e^x.sin x

#7 14. 12. 2014 16:08

Re: Extrémy funkce e^x.sin x

#8 14. 12. 2014 16:32

Re: Extrémy funkce e^x.sin x

#9 14. 12. 2014 16:37

Re: Extrémy funkce e^x.sin x

#10 14. 12. 2014 17:09

Re: Extrémy funkce e^x.sin x

Zápatí