Matematické Fórum

Duke256 · 15. 12. 2014 16:03

Zdravím chci se zeptat mám řadu $\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
a mám ověřit její konvergenci, tak se chci zeptat jestli stačí spočítat její limitu a když vyjde menší 1 tak řada konverguje nebo je potřeba na to jít jinak. Děkuji za odpoveď

vlado_bb · 15. 12. 2014 16:05

↑ Duke256:Co mas na mysli pod pojmom "limita nekonecneho radu"? Vsimni si, ze ide o rad so striedavymi znamienkami, pri nich sa konvergencia overuje pomerne jednoducho. Aku knihu pouzivas na studium? Aby som pouzival jazyk, ktoremu rozumies.

Duke256 · 15. 12. 2014 16:10

↑ vlado_bb:Používám materiál, který dělá přímo na čvut garant předmětu a je to tam přecpaný definicema a spíš bych potřeboval nějakou srozumitelnou formu. Spočítal jsem si limitu posloupnosti jdoucí do nekonečna když jsem dal pryč to znaménko a vyšla mi nula, ale nevím zda postupuju dobře.

vlado_bb · 15. 12. 2014 16:15

Literatury je v knizniciach dost, skus nejaku knihu, napriklad klasiku - Jarnik. Takze myslel si limitu postupnosti absolutnych hodnot clenov, ak vyjde nulova, ako v nasom pripade, neda sa o konvergencii este nic povedat, to ste urcite mali na prednaske. Pozri si, ake kriteria ste mali na konvergenciu radov so striedavymi znamienkami. (Podla mna ste mali iba jedno a prave to treba aj pouzit.)

vlado_bb · 15. 12. 2014 16:16

Ale v kazdom pripade - ak nepouzivas ziadnu knihu, povedal by som, ze ziadat radu na internete nie je prave najrozumnejsie.

Duke256 · 15. 12. 2014 16:19

↑ vlado_bb:Používám právě ty skripta a díky za doporučení kouknu na tu knihu já došel k tomu že by to mělo být Leibnizovo kritérium jen nevím jak to přesně ověřit pode něho

Rumburak

↑ Duke256:

Ahoj.

Výpočet limity n-tého členy je dobrý začátek. O konvergenci oscilujících řad speciálně pojednáva
Leibnizova věta (neboli Leibnizovo kriterium - dodatešně zjišťuji, že už sis vzpomněl). Najdi si
tuto větu ve svých (nebo jiných) stud. materiílech zkus, nebude-li se hodit na řadu, která Tě zajímá
(bude se hodit).

Studijní materiály z VŠ matematiky bývají "přecpány" definicem a větami proto, aby nemusely být
v ještě větší míře přecpány konkretními postupy. :-) Matematika se dá přirovnat k mapě: nepopisuje
tisíce případů, jak se dostat z místa X do místa Y, ale ukazuje smluvenými značkami celek, v němž
každý má možnost najít si tu cestu, kterou právě potřebuje.

Duke256 · 15. 12. 2014 16:26

↑ Rumburak:To je mi jasné, ale pak jsou dobré i řešené příklady na kterých je to ukazané a já v těch definicích docela plavu i když vím že jsou důležité

Rumburak

↑ Duke256:

Leibnizovo kriterium je trefa do černého. Střídání znamének, jak kriterium pořžaduje, funguje,
limita n-tého členu $a_n$ také, zbývá ještě ověřit, že posloupnost $|a_n|$ je monotonní
(zde tedy nerostoucí).

vlado_bb · 15. 12. 2014 16:30

↑ Duke256:Tu nejde o definiciu, ale o Leibnizovu vetu - podla nej treba pri nekonecnej rade overit dve veci a budeme vediet, ci konverguje. Nic zlozite. Navyse, jednu z nich si uz vlastne urobil.

Duke256 · 15. 12. 2014 16:32

↑ vlado_bb:A podle té druhé jestli to dobře chápu tak každý další člen musí být větší než předešlý a to předpokládám beru zase s absolutních členů, ale nevím jak ověřím, že tohle platí pro každý člen s nekonečně mnoha

vlado_bb · 15. 12. 2014 16:34

↑ Duke256:Staci to overit pre dva cleny iduce po sebe, napriklad (n-1)-vy a n-ty, nie? Ak potom uvazime, ze n moze byt 2,3,4, .... tak je to hotove, nie?

Duke256 · 15. 12. 2014 16:36

↑ vlado_bb:Tak pokud to takhle stačí, tak je to pak celkem lehké děkuji za pomoc

Rumburak

↑ Duke256:

Především je

$|a_n| = |(-1)^{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})| = |\sqrt{n+1}-\sqrt{n}| = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ ,

protože $n + 1 > n$ a druhá odmocnina je rostoucí funkce.

Dále

$|a_{n+1}| - |a_n| = (\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}) - (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = \sqrt{n+2}- 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ .

K určení znaménka výrazu $\sqrt{n+2}- 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ půjde využít, že funkce druhé odmocniny je konkávní.

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2014 16:03

Konvergence řady

#2 15. 12. 2014 16:05

Re: Konvergence řady

#3 15. 12. 2014 16:10

Re: Konvergence řady

#4 15. 12. 2014 16:15

Re: Konvergence řady

#5 15. 12. 2014 16:16

Re: Konvergence řady

#6 15. 12. 2014 16:19 Příspěvek uživatele Kdosi byl skryt uživatelem Kdosi. Důvod: Pozdě :)

#7 15. 12. 2014 16:19

Re: Konvergence řady

#8 15. 12. 2014 16:23 — Editoval Rumburak (15. 12. 2014 16:28)

Re: Konvergence řady

#9 15. 12. 2014 16:26

Re: Konvergence řady

#10 15. 12. 2014 16:29 — Editoval Rumburak (15. 12. 2014 16:34)

Re: Konvergence řady

#11 15. 12. 2014 16:30

Re: Konvergence řady

#12 15. 12. 2014 16:32

Re: Konvergence řady

#13 15. 12. 2014 16:34

Re: Konvergence řady

#14 15. 12. 2014 16:36

Re: Konvergence řady

#15 15. 12. 2014 16:51 — Editoval Rumburak (15. 12. 2014 16:53)

Re: Konvergence řady

Zápatí