Matematické Fórum

xstudentíkx · 15. 12. 2014 16:38

Dobrý večer,

pomůže mi někdo s touto rovnicí?

$\sin ^{4}x-\cos ^{4}x=\cos ^{2}2x$

Mé řešení:

$1*(\sin ^{2}x-\cos ^{2}x)=\cos ^{4}x-\sin ^{4}x$

$1-\cos ^{2}x-\cos ^{2}x=\cos ^{2}x+\cos ^{2}x-1$

$2=4\cos ^{2}x$

$\cos x=+/-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Z čehož mám:

$\{\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\pi k\}$

Chybí mi však:

$\frac{\pi }{2}+\pi k$

Jak se dostanu i k tomuto kořenu, případně kde mám chybu?

misaH · 15. 12. 2014 16:44

↑ xstudentíkx:

Podľa mňa

$\cos^2 2x=(\cos ^2x-\sin^2x)^2=\cos^4x-2\cos^2x\sin^2x+\sin^4x$

xstudentíkx · 15. 12. 2014 16:45

↑ misaH:

A jo, to mi nějak uniklo....Děkuji

misaH · 15. 12. 2014 18:58 — Editoval misaH (15. 12. 2014 19:03)

$\sin ^{4}x-\cos ^{4}x=\cos ^{2}2x$

$-1\cos 2x=\cos^22x$

$\cos^22x +\cos 2x=0$

$\cos2x (\cos2x+1)=0$

xstudentíkx

↑ misaH:

Proč se:

$\sin ^{4}x-\cos ^{4}x=-1\cos 2x$ ? Tento vztah neznám.

Edit: Už to v tom vidím.

Mám ještě jeden dotaz, dá se nějak pracovat s tímto? Dá se tak zjistit x?

$\sin x=-\cos x$

vlado_bb · 15. 12. 2014 19:12

↑ xstudentíkx:Lebo $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .

zdenek1 · 15. 12. 2014 19:36

↑ xstudentíkx:

Mám ještě jeden dotaz, dá se nějak pracovat s tímto? Dá se tak zjistit x?

$\sin x=-\cos x$

vydělíš kosínem a dostaneš
$\tan x=-1$

Jj · 15. 12. 2014 19:41 — Editoval Jj (15. 12. 2014 19:44)

↑ xstudentíkx:

Dobrý den.

Pokud jde o řešení rovnice $\sin x=-\cos x$ , je možno postupovat např. i takto:

$\sin x +\cos x=0$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x +\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=0$

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi}{4}=\sin \frac{\pi}{4}\Rightarrow \sin x \cos \frac{\pi}{4}+\cos x \sin \frac{\pi}{4}=\sin (x+\frac{\pi}{4})=0$

Poslední rovnost už se snadno vyřeší.

Řešení kolegy ↑ zdenek1: je samozřejmě jednodušší - já jsem ho uvedl proto, že podobný postup je možno výhodně uplatnit i pro rovnice

$a\sin x + b \cos x = c \Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

řešitelné pro $\left|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\le 1$ . Po substituci $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \cos \varphi, \quad \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sin \varphi$

dostaneme $\sin (x+\varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

xstudentíkx · 15. 12. 2014 21:05

↑ zdenek1: ↑ Jj:

Jedná se o výslednou část rovnice.

V případě ↑ zdenek1: jsem myslela, že jelikož nevím zda se $\cos$ či $\sin$ rovná nule, tak nemohu dělit cosinusem.

Proč to v tomto případě mohu takto použít?

↑ Jj:

Ve vašem případě se s dělením gon. funkcí nesetkávám, což se mi zdá lepší (avšak pracnější).

zdenek1 · 15. 12. 2014 21:19

↑ xstudentíkx:
Víš (nebo bys měla vědět), že sinus a kosinus nejsou nikdy současně nula. A protože se podle rovnice rovnají, tak zcela určitě nejsou nulové.

xstudentíkx · 15. 12. 2014 21:24

↑ zdenek1:

Děkuji za upozornění, toto mi bohužel ještě sděleno nebylo (jsem samostudent).

Jj · 15. 12. 2014 21:26

↑ xstudentíkx:

Řekl bych, že kosínem je možno dělit za podmínky $x \doteq \frac{\pi}{2}+k\pi$ - to by pak ani nešlo napsat, že tg x = sin x / cos x.

misaH · 15. 12. 2014 21:29 — Editoval misaH (15. 12. 2014 21:30)

↑ xstudentíkx:

Ahoj - to Ti nemusí nikto sdělit, stačí poznať napríklad graf alebo jednotkovú kružnicu.

misaH · 15. 12. 2014 21:41 — Editoval misaH (15. 12. 2014 21:43)

↑ Jj:

Ide o to, že podľa tvaru rovnice sa $\cos x$ určite 0 nerovná, lebo to by sa 0 musel rovnať aj sinus x - a to nie je možné, taký uhol, ktorého sinus aj kosínus je 0 neexistuje.

Preto v tomto príklade možno kosínusom deliť.

xstudentíkx · 15. 12. 2014 21:56

↑ misaH: ↑ Jj: ↑ zdenek1:

Všem děkuji, už je mi to jasné. Ano máte pravdu jde to z grafu vidět. Když už se to tady řeší, pro upřesnění by mě zajímalo jak je to s absolutní hodnotou v případě goniometrické funkce, pokud by byl někdo ochoten vysvětlit.

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2014 16:38

goniometrická rovnice

#2 15. 12. 2014 16:44

Re: goniometrická rovnice

#3 15. 12. 2014 16:45

Re: goniometrická rovnice

#4 15. 12. 2014 18:58 — Editoval misaH (15. 12. 2014 19:03)

Re: goniometrická rovnice

#5 15. 12. 2014 19:07 — Editoval xstudentíkx (15. 12. 2014 19:13)

Re: goniometrická rovnice

#6 15. 12. 2014 19:12

Re: goniometrická rovnice

#7 15. 12. 2014 19:36

Re: goniometrická rovnice

#8 15. 12. 2014 19:41 — Editoval Jj (15. 12. 2014 19:44)

Re: goniometrická rovnice

#9 15. 12. 2014 21:05

Re: goniometrická rovnice

#10 15. 12. 2014 21:19

Re: goniometrická rovnice

#11 15. 12. 2014 21:24

Re: goniometrická rovnice

#12 15. 12. 2014 21:26

Re: goniometrická rovnice

#13 15. 12. 2014 21:29 — Editoval misaH (15. 12. 2014 21:30)

Re: goniometrická rovnice

#14 15. 12. 2014 21:41 — Editoval misaH (15. 12. 2014 21:43)

Re: goniometrická rovnice

#15 15. 12. 2014 21:56

Re: goniometrická rovnice

Zápatí