Matematické Fórum

Kikča15 · 07. 03. 2009 12:13

ahojky prosím pomohl by mi někde s těmito slovníma úkolama ??děkuji
1.) Vypočtěte obsah rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku, jehož obvod je 119,5m.
2.)Trojúhelník pravoúhlý má přeponu c=13cm a v=6cm vypočítejte obě jeho odvěsny.
3.)Lichoběžník ABCD je dán základnou a=24 cm v=10cm obsah S=185 cm čtverečních a úhlem gama = 135° při vrcholu C. Určete velikost obvodu lichoběžníku ABCD.

Chrpa · 07. 03. 2009 12:56 — Editoval Chrpa (07. 03. 2009 13:05)

↑ Kikča15:
Př. 1)
$2a+c=119,5$ je to rovnoramenný trojúhelník, má tedy dvě strany stejně dlouhé
$2a^2=c^2$ je to trojúhelník pravoúhlý
$2a^2=c^2\nla^2=\frac{c^2}{2}\nla=\frac{c\sqrt 2}{2}$ dosadíme do první rovnice a dostaneme:
$2a+c=119,5\nlc\sqrt 2+c=119,5\nlc(\sqrt 2+1)=119,5\nlc=119,5(\sqrt 2-1)$ dopočítáme délku odvěsen
$a=\frac{c\sqrt 2}{2}=\frac{119,5\sqrt 2(\sqrt 2-1)}{2}\nla=\frac{119,5(2-\sqrt 2)}{2}\,\approx\,35$

Obsah bude:
$S=\frac{a^2}{2}$ jedná se o rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník
$S=\frac{119,5^2(2-\sqrt 2)^2}{8}=\frac{35^2}{2}\,\approx\,612,5$

Chrpa · 07. 03. 2009 13:13 — Editoval Chrpa (07. 03. 2009 18:22)

↑ Kikča15:
Př. 2)
Pro obsah pravoúhlého trojúhelníka platí:
$S=\frac{ab}{2}\nlS=\frac{c\cdot v_c}{2}\nl\frac{ab}{2}=\frac{c\cdot v_c}{2}\nlab=13\cdot 6\nlab=78\nla=\frac{78}{b}$
Z Pythagorovy věty platí:
$a^2+b^2=c^2\nla^2+b^2=13^2\nla^2+b^2=169\nl\left(\frac{78}{b}\right)^2+b^2=169\nlb^4-169b^2+6084=0$ Subdtituce $b^2=x\,\rightarrow\,b=\sqrt x$
$x^2-169x+6084=0\nlx_1=117\nlx_2=52$
$b_1=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\nlb_2=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
$a_1=2\sqrt{13}\nla_2=3\sqrt{13}$

Odvěsny trojúhelníku maji délky $3\sqrt{13}$ a $2\sqrt{13}$ cm

Chrpa · 07. 03. 2009 18:45 — Editoval Chrpa (08. 03. 2009 20:47)

↑ Kikča15:
Př.3)
Odvod o je:
$o=a+b+c+d$
Pro obsah S lichoběžníka platí:
$S=\frac{(a+c)v}{2}\nl185=\frac{(a+c)10}{2}\nla+c=37\,\Rightarrow\,c=13$
Teď musíme dopočítat délky ramen b, d
Musí platit: dle obrázku

$\alpha=135-90=45^\circ$
Potom úhel beta při vrocholu B je:
$\beta=90-\alpha=45^\circ$
Jedná se tedy o pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník
Potom:
$y=v=10\,\Rightarrow\nlb^2=2v^2\nlb=v\sqrt 2\nlb=10\sqrt 2$
Nyní nám stačí dopočítat délku ramene d
Musíme tedy určit hodnotu x dle obrázku.
$x=a-c-y=24-13-10=1$
Z Pythagorovy věty platí:
$d^2=v^2+x^2\nld^2=10^2+1^2\nld^2=101\nld=\sqrt{101}$
Takže máme vypočítány délky všech stran lichoběžníku a vyčíslíme jeho obvod.
$o=37+10\sqrt 2+\sqrt{101}\,\approx\,61,19\,\textrm{cm}$

Matematické Fórum

#26 07. 03. 2009 12:13

Re: Slovní úloha

#27 07. 03. 2009 12:56 — Editoval Chrpa (07. 03. 2009 13:05)

Re: Slovní úloha

#28 07. 03. 2009 13:13 — Editoval Chrpa (07. 03. 2009 18:22)

Re: Slovní úloha

#29 07. 03. 2009 18:45 — Editoval Chrpa (08. 03. 2009 20:47)

Re: Slovní úloha

Zápatí