Matematické Fórum

Tscar · 11. 12. 2014 23:24

Dobrý den,

poprosil bych o radu s následujícím problémem.

Mám dvě vlny
$p_{1}=Psin(\omega t+k(L-x))$
$p_{2}=Psin(\omega t-k(L-x))$

tj. v místech x=0 a x=L mám časově závislé okrajové podmínky
$p_{1}=Psin(\omega t+kL)$
$p_{2}=Psin(\omega t-kL)$

Když sečtu vlny $p_{1}$ a $p_{2}$ , dostávám
$p = 2Psin(\omega t)cos(k(L-x))$

Moje otázka je, jaké musí být funkce $p_{3}$ a $p_{4}$ v místě 3, pro které je x=(1/3)L a v místě 4, pro které je x=(2/3)L, aby na intervalu mezi místem 3 a místem 4 platila fukce $p = 2Psin(\omega t)cos(k(L-x))$ ?

Předem děkuji za opověď.

Tscar · 11. 12. 2014 23:27

↑ Tscar: Ještě bych dodal, že jedinými neznámými jsou prostorová souřadnice x a čas t. Zbytek jsou známé konstanty.

jelena · 12. 12. 2014 17:35

Zdravím,

zatím (a možná u toho i skončím) takové poznámky

tj. v místech x=0 a x=L mám časově závislé okrajové podmínky
$p_{1}=Psin(\omega t+kL)$
$p_{2}=Psin(\omega t-kL)$

toto jsou podmínky pro $p_1$ a $p_2$ pro $x=0$ (pro $x=L$ není napsáno, ale je to jasné).

Když sečtu vlny $p_{1}$ a $p_{2}$ , dostávám
$p = 2Psin(\omega t)cos(k(L-x))$

ano, pokud dle goniometrických vzorců sečteš první 2 řádky, tak máš tento vztah. A ten platí na celém def. oboru Tvých funkcí, tedy i v místech místě 3, pro které je x=(1/3)L a v místě 4, pro které je x=(2/3)L pro původní samostatné vlny $p_1$ , $p_2$ (obecně, bez ohledu na místo, kde pozoruješ). Jaký je důvod pro další 2 zápisy (jsou to jiné "nové vlny" - třetí a čtvrtá, nebo pořád dvě původní, jen máš v planu pozorovat v uvedených bodech)? Děkuji.

Tscar · 12. 12. 2014 20:14 — Editoval Tscar (12. 12. 2014 21:43)

↑ jelena:
Děkuji za odpověď. Moc jsem nečekal, že by se někdo s tímto chtěl zabývat.
Nové vlny $p_{3}$ a $p_{4}$ jsou úplně jiné vlny(a nepůsobí společně s vlnami 1 a 2, pouze s nimi chci dosáhnout stejného výsledku jako s vlnami 1 a 2), $p_{3}$ chci poslat z místa (1/3)L dále pravo a $p_{4}$ chci poslat z místa (2/3)L vlevo a chci, aby jejich součet na intervalu od (1/3)L do (2/3)L dal výsledek odpovídající stojaté vlně p, vzniklé od postupných vln $p_{1}$ a $p_{2}$ , na tomtéž intervalu.

jelena · 13. 12. 2014 00:29 — Editoval jelena (13. 12. 2014 00:49)

↑ Tscar:

u takových témat je spíš větší problém rozluštit, co je problémem, než samotné řešení problému. Tak uvidíme: uvažuješ 2 vlnění (zatím budeme uvažovat stejné amplitudy)
$p_{3}=P\sin(\omega t+\varphi_1)$
$p_{4}=P\sin(\omega t+\varphi_2)$
opraveno součet (dle vzorce): $p_3+p_4=2P\sin$\omega t+\frac{\varphi_1+\varphi_2}{2}$\cos$\frac{\varphi_1-\varphi_2}{2}$$
no a do těch $\varphi$ potřebuješ nějak dostat Tvou představu ohledně

$p_{3}$ chci poslat z místa (1/3)L dále pravo a $p_{4}$ chci poslat z místa (2/3)L vlevo a chci, aby jejich součet na intervalu od (1/3)L do (2/3)L dal výsledek odpovídající stojaté vlně p, vzniklé od postupných vln $p_{1}$ a $p_{2}$ , na tomtéž intervalu.

aby $$\frac{\varphi_1-\varphi_2}{2}$=k(L-x)$ a $\omega t+\frac{\varphi_1+\varphi_2}{2}=\omega t$ .

Neuvažovala jsem fyzikální podstatu jevu (jen použití vzorců) + neuvažovala jsem, zda by pomohlo mít různé $\omega_1$ a $\omega_2$ , ještě to nechám na domyšlení.

Pochopila jsem alespoň přibližně? Děkuji.

Tscar · 13. 12. 2014 16:16

↑ jelena:
Když nad tím teď znovu přemýšlím, ona je p_3 vlastně p_1 v jiném místě ... takže by to mělo stačit fázově posunout o tu konstantu.
Člověka holt občas ty jednoduchý odpovědi holt překvapí.
No nic, moje blbost.
Každopádně děkuji za ochotu, se kterou jsem se zde na fóru nesetkal zdaleka poprvé.

jelena · 13. 12. 2014 16:25

↑ Tscar:

také děkuji za zprávu. Pokud bys nad tím ještě uvažoval, tak by určitě prospělo přidat obrázky, jak to myslíš ohledně vln. Zdárné dokončení přeji.

KennyMcCormick · 17. 12. 2014 07:04

↑ jelena:

Tak uvidíme: uvažuješ 2 vlnění (zatím budeme uvažovat stejné amplitudy)
$p_{3}=P\sin(\omega t+\varphi_1)$
$p_{4}=P\sin(\omega t+\varphi_2)$

Omlouvám se, jestli jsem to špatně pochopil, ale neměly by ty vlny být i funkcí polohy ( $x$ ), nejen času?

jelena · 17. 12. 2014 09:21

↑ KennyMcCormick:

Zdravím a děkuji, já mám dojem, že z pohodlnosti jsem označila $k(L-x)=\varphi$ , tedy to je závislé na x, přesně $\varphi(x)$ .

Přesně bychom měli použit označení jako zde, s tím, že vlny (až na amplitudu A) nemají stejné charakteristiky ( $\omega$ , $\lambda$ ). Ale opravdu nemám ani ověřené, ani alespoň promýšlené - ale určitě to jde napsat, že mám vlny ( $n$ bude pořadové číslo)
$p_n(x,t)=A_n\sin 2\pi $\omega_nt-\frac{x_n}{\lambda_n}$$ a zda je možné skládáním takových vln dosáhnou požadavku kolegy (kterému tak úplně nerozumím) do dosažení stojaté vlny.

Nebo zda stojatého vlnění vznikne pouze za určitých parametrů vln?

Ale jak jsem napsala, nejvíce by pomohl obrázek kolegy, čeho vlastně chtěl dosáhnout.