Matematické Fórum

Crashatorr · 18. 12. 2014 09:20

Zdravím, mohl by mi někdo poradit jak na tento příklad? Řady jsme zatím vvůbec nedělali

$\Sigma^{\infty }_{i=1}\frac{n^{3}}{3^{n}}$

jarrro · 18. 12. 2014 09:57

ak je to tak ako to je napísané tak pre kladné n je to nekonečno pre záporné n je to mínus nekonečno a pre nulové n je to nula
ale skôr by bolo podľa mňa zaujímavejšie uvažovať
$\sum^{\infty }_{n=1}{\frac{n^{3}}{3^{n}}}$
potom
$\sum^{\infty }_{n=1}{n^3x^n}=x\sum^{\infty }_{n=1}{n^3x^{n-1}}=x$\sum^{\infty }_{n=1}{n^2x^{n}}$^{\prime}\nl \sum^{\infty }_{n=1}{n^2x^n}=x\sum^{\infty }_{n=1}{n^2x^{n-1}}=x$\sum^{\infty }_{n=1}{nx^{n}}$^{\prime}\nl \sum^{\infty }_{n=1}{nx^n}=x\sum^{\infty }_{n=1}{nx^{n-1}}=x$\sum^{\infty }_{n=1}{x^{n}}$^{\prime}$

jelena · 18. 12. 2014 11:57

Zdravím,

↑ jarrro: mohu dotaz - zde před krátkou dobou kolega hledal jiný postup řešení pro typy $\frac{n^p}{a^n}$ (jako v tématu), přidala jsem výběr z místních zdrojů a nejen - derivování je "první volba". Jsou jiné postupy, nebo je to složitější na použití a je zbytečné si vymýšlet?

Děkuji.

misaH · 18. 12. 2014 13:22

↑ Crashatorr:

Nikde v predpise nevidím $i$ .

vlado_bb · 18. 12. 2014 13:37

↑ misaH:Zrejmy preklep, namiesto $i$ malo byt $n$ . Skor by som ale cakal, ze autor otazky povie, co s tym vlastne treba robit. Treba zistit ci rad konverguje? Najst jeho sucet? Nieco ine?

Pavel · 18. 12. 2014 13:50 — Editoval Pavel (18. 12. 2014 13:51)

↑ jelena:

Existují jednodušší metody, jak tyto sumy počítat bez použití derivací. Stačí základní znalosti diferenčního počtu týkající se řešení linearních diferenčních rovnic 1. řádu se speciální pravou stranou a je potřeba umět pracovat s limitami.

Definujme posloupnost $\{s_N\}_{N=1}^{\infty}$ předpisem

$s_N:=\sum_{n=1}^{N}\frac{n^3}{3^n}\,,\qquad N\in\mathbb N.$

Pak zřejmě

$s_{N+1}-s_N=\left(\frac 13\right)^{N+1}\cdot(N+1)^3,\qquad s_1=\frac 13\,.$

Jedná se tedy o lineární diferenční rovnici s nehomogenní pravou stranou a počáteční podmínkou. Dá se ukázat, že řešení rovnice lze vyjádřit ve tvaru:

$s_N=\frac{33}8+\left(\frac 13\right)^N\cdot\left(-\frac 12N^3-\frac 94N^2-\frac 92N-\frac{33}8\right).$

Součet zadané nekonečné řady se pak určí limitním přechodem, tj.

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{3^n}=\lim_{N\to+\infty}s_N=\frac{33}8.$

check_drummer · 18. 12. 2014 18:01

Pavel napsal(a):
Dá se ukázat, že řešení rovnice lze vyjádřit ve tvaru:

$s_N=\frac{33}8+\left(\frac 13\right)^N\cdot\left(-\frac 12N^3-\frac 94N^2-\frac 92N-\frac{33}8\right).$

Ahoj, a existuje také nějaký způsob, jak na ten vzorec přijít? Protože když už ho máme, tak ten důkaz, že jde o řešení bude o mnoho snadnější...

Pavel · 18. 12. 2014 18:51 — Editoval Pavel (18. 12. 2014 18:57)

↑ check_drummer:

Ten vzorec vychází jako řešení příslušné diferenční rovnice. Pokud využijeme poznatků z teorie diferenčních rovnic, tak v případě rovnice

$s_{n+1}-s_n=q^n\cdot P_m(n),$

kde $q\in\mathbb R\setminus\{0,1\}$ , $P_m(n)$ je reálný polynom $m$ -tého stupně a $s_n$ je $n$ -tý člen hledané neznámé posloupnosti $\{s_n\}_{n=1}^{\infty}$ , má řešení této diferenční rovníce, tj. předpis pro $s_n$ , tvar

$s_n=K+q^n\cdot Q_m(n),$

kde $K$ je libovolná reálná konstanta a $Q_m(n)$ je polynom stejného stupně jako zadaný polynom $P_n(m)$ , přičemž koeficienty polynomu $Q_m(n)$ se určí tak, aby diferenční rovnice byla splněna, tj. "aby vyšla zkouška správnosti". Konstanta $K$ se určí tak, aby byla splněna počáteční podmínka.

Bude-li $q\in(-1,1)$ , pak pro součet nekonečné řady platí

$\sum_{k=1}^{\infty}q^k\cdot P_m(k)=K,$

je-li $s_n:=\sum_{k=1}^nq^k\cdot P_m(k)$

jelena · 18. 12. 2014 23:45

Zdravím,

↑ Pavel: děkuji velice, bohužel teorii diferenčních rovnic ovládám ještě hůř, než teorii řad (kterou také ovládám jen v úplných základech), diferenční rovnici (některou) dokážu jen mechanicky spočítat pomocí Z-transformace.

Tak bych patrně v tématu jen překážela vaši debatě :-), ale kolegu v dalším tématu poinformuji. Ještě jednou děkuji.

Rumburak

↑ Pavel:

Ahoj.

Může být ovšem tématem do diskuse, která z uvažovaných metod (přes diferenciální rovnice či přes diferenční
rovnice) je technicky jednodušší. :-)

Také mám dojem, že diferenční rovnice bývají zahrnuty do osnov VŠ méně často než rovnice diferenciální .

Pavel · 19. 12. 2014 11:48

↑ Rumburak:

To je samozřejmě pravda. Na jednu stranu řešení pomocí diferenčních rovnic nevyžaduje použití derivací, stačí určit koeficienty neznámého polynomu, což po úpravě vede na řešení soustavy lineárních rovnic. Na druhé straně nevýhoda diferenčních rovnic spočívá v tom, že pomocí ní nelze takto jednoduše najít např. součet nekonečné řady

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n\cdot 3^n}$

Derivace a integrály jsou v tomto případě mnohem efektivnější.

Matematické Fórum

#1 18. 12. 2014 09:20

Konvergence řady

#2 18. 12. 2014 09:57

Re: Konvergence řady

#3 18. 12. 2014 11:57

Re: Konvergence řady

#4 18. 12. 2014 13:22

Re: Konvergence řady

#5 18. 12. 2014 13:37

Re: Konvergence řady

#6 18. 12. 2014 13:50 — Editoval Pavel (18. 12. 2014 13:51)

Re: Konvergence řady

#7 18. 12. 2014 18:01

Re: Konvergence řady

Pavel napsal(a):

#8 18. 12. 2014 18:51 — Editoval Pavel (18. 12. 2014 18:57)

Re: Konvergence řady

#9 18. 12. 2014 23:45

Re: Konvergence řady

#10 19. 12. 2014 11:31 — Editoval Rumburak (19. 12. 2014 11:39)

Re: Konvergence řady

#11 19. 12. 2014 11:48

Re: Konvergence řady

Zápatí