Matematické Fórum

Bati · 19. 12. 2014 14:38

Ahoj,
mám jednu jednoduchou úlohu s drobným trikem:

Nechť jsou dána reálná čísla $a_1<b_1<a_2<b_2<\cdots<a_n<b_n$ , $n\in\mathbb{N}$ . Označme
$g(x):=\sum_{k=1}^n\frac{a_k-b_k}{(x-a_k)(x-b_k)}$ .
Ukažte, že
a) $g(x)<0$ , pokud $x$ nepatří do žádného z intervalů $[a_i,b_i]$ , $i=1,\ldots,n$
b) $g(x)>0$ , pokud $x$ patří do některého z intervalů $(a_i,b_i)$ , $i=1,\ldots,n$ .
Co z toho plyne pro monotonii funkce $f(x):=\prod_{k=1}^n\frac{x-a_i}{x-b_i}$ ?

Poznámka: Tvrzení se dá použít při zkoumání vlastností (omezenosti) Hilbertovy transformace.

Matematické Fórum

#1 19. 12. 2014 14:38

Racionální funkce

Zápatí