Matematické Fórum

Brace · 20. 12. 2014 20:42

Dobrý den,
Mohl by někdo, prosím, vysvětlit, jak se řeší obor hodnot této funkce:
$f(x) = \sqrt{2 + x - x^{2}}$ ?
Děkuji.

Freedy · 20. 12. 2014 21:10 — Editoval Freedy (20. 12. 2014 21:14)

Ahoj,

řešení probíhá na základe znalostí následujících dvou vět o spojitých funkcí
Věta Weierstrassova nám říká, je-li nějaká funkce spojitá na uzavřeném intervalu $\langle a;b\rangle$ poté existuje alespoň jeden takový bod $x_1$ pro který platí $f(x)\le f(x_1)$ >>> maximum na intervalu $\langle a;b\rangle$ a alespoň jeden takový bod $x_2$ pro který platí $f(x)\ge f(x_2)$ >>> minimum na intervalu $\langle a;b\rangle$ .
Věta Bolzanova-Weierstrassova nám říká, je-li nějaká funkce spojitá na uzavřeném intervalu $\langle a;b\rangle$ kde platí $f(a)\not =f(b)$ potom ke každému číslu K které leží mezi čísly f(a) a f(b), existuje alespoň jeden takový bod $c\in (a;b)$ , že $f(c)=K$ . Tedy že funkce nabývá všech hodnot mezi krajními funkčními hodnotami.
Stačí tedy najít extrémy dané funkce na jejím definičním oboru a díky Bolzano-Weierstrassovy věty pak lze tvrdit, že oborem hodnot budou všechna reálná čísla, která budou ležet mezi maximem a minimem.
Tato funkce je spojitá a definována pouze když
$-x^2+x+2\ge 0$
$x^2-x-2\le 0$
$(x+1)(x-2)\le 0$ >>> $x\in \langle-1;2\rangle$
Nalezení maxima a minima není pomocí derivací složité.
$f'(x)=\frac{1-2x}{2\sqrt{2+x-x^2}}$ položíme ji rovnou nule a dostáváme x = 1/2. V tomto bodě funkce nabývá maxima (druhá derivace případně objasní). Maximum je rovno $f(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$
Máme tedy maximum ale minimum ne. Lze ukázat, že výraz $\frac{1-2x}{2\sqrt{2+x-x^2}}$ je kladný pro $x<\frac{1}{2}$ a záporný pro $x>\frac{1}{2}$ . Funkce je tedy na intervalu $x\in \langle-1;\frac{1}{2})$ rostoucí a na intervalu $x\in (\frac{1}{2};2\rangle$ klesající. To znamená, že minima dosáhne v jednom z krajních bodů. Vypočítáme příslušné hodnoty a pro obě nám vychází nula.
Obor hodnot je tedy $H_f=\langle0;\frac{3}{2}\rangle$

Jednodušší řešení by ale nejspíš bylo. Ze znalosti paraboly a kvadratické funkce víme, že funkce nabývá svého maxima popřípadě minima uprostřed kořenů. Na opačné strany již kvadratická funkce odbíhá do nekonečna (-nekonečna). Stačí tedy zjistit kořeny kvadratické rovnice a vypočítat funkční hodnotu v daném bodě. Jelikož parabola zde nemůže nikam odbíhat kvůli odmocnině, bude logické že minimum bude v krajních bodech a bude 0.

zdenek1 · 20. 12. 2014 21:13

↑ Brace:
Např. takto:
a) $f(x)=y\ge0$
b) $y^2=2+x-x^2$ *
$x^2-x+y^2-2=0$ Nyní se na to podíváš jako na rovnici (pro $x$ ) s parametrem ( $y$ )
Obor hodnot je množina všech $y$ , ke kterým existuje $x$ .
Aby existovalo $x$ , potřebuješ, aby tvá rovnice měla řešení, a to existuje, když je diskriminant nezáporný.
$1-4(y^2-2)\ge0$
$9-4y^2\ge0$
$(3-2y)(3+2y)\ge0$
$y\in\left\langle-\frac32;\frac 32\right\rangle$
vzhledem k podmínce (a) je pak
$H_f=\left\langle0;\frac32\right\rangle$

Druhá možnost je podívat se na to jako na analytickou geometrii - rovnice (*) spolu s (a) je rovnice půlkružnice, můžeš najít střed a poloměr a z toho najít obor hodnot.

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2014 20:42

Obor hodnot

#2 20. 12. 2014 21:10 — Editoval Freedy (20. 12. 2014 21:14)

Re: Obor hodnot

#3 20. 12. 2014 21:13

Re: Obor hodnot

Zápatí