Matematické Fórum

talent2211 · 22. 12. 2014 00:08

limita

dobrý večer, mohl bych poprosit o pomoc s následující limitou? napadlo mě přidat a odečíst 1 a použít větu o aritmetice limit a zbavit se e^x, ale stále mi tam zbývá ten výraz s logaritmem, věděl bych jak šikovně ho rozšířit na známou limitu, ale mám někde nějaký zásek... předem díky

jelena · 22. 12. 2014 09:07

Zdravím,

přepiš, prosím, celé zadání do TeX do textu zprávy. Děkuji.

talent2211 · 22. 12. 2014 13:57

$\lim_{x\to0+}\frac{e^{x}+2\cdot \frac{\ln \cos x}{x^2}}{\sqrt{x}}$

Tady to je, omlouvám se, že jsem to tam nehodil rovnou

Bati · 22. 12. 2014 14:19

Ahoj,
všimni si, co dělá ten zlomek s logaritmem a pak použij limitu $\lim_{y\to0}\frac{e^y-1}{y}=1$ .

Užitečný bude si označit
$g(x):=-2\cdot\frac{\ln\cos{x}}{x^2}$ .

talent2211

upravil jsem to až sem

$\lim_{x\to0+}\frac{e^{x}- \frac{\ln\ \cos ^{2}x}{1-\cos ^{2}x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot (1+\cos x)}{\sqrt{x}}$

ten výraz za mínuskem v čitateli se bude rovnat jedničce, ale nebude se jednat o vnitřní limitění, když tu hodnotu vypočítám a použiju ve výpočtu? právě na tom jsem se zasekl

Bati · 23. 12. 2014 11:39

Proč tak složitě?
$g(x)=\frac{\ln\cos{x}}{\cos{x}-1}\cdot\frac{1-\cos{x}}{x^2}\cdot2\to1$ , takže
$\frac{e^x+\frac{2\ln\cos{x}}{x^2}}{\sqrt{x}}=\frac{e^x-g(x)}{g(x)}\cdot\frac{g(x)}{\sqrt{x}}\to\ldots$ .
Pořád to je jen limita složené funkce, žádné limitění po částech.

talent2211 · 23. 12. 2014 13:34

ok, sem až všem úpravám rozumím, ale teď bych opravdu nevěděl, co s tím dál... je možnost rozšířit zlomek X-kem a použít nějak větu o limitě složené fce a aritmetice limit a vyhodit ten první zlomek, který by se rovnal jedné? a ta druhá limita by tedy byla nula?

Bati · 23. 12. 2014 13:46

No víme tedy, že $g(x)\to1$ pro $x\to0+$ a taky si všimneme, že je pro tuto funkci splněna podmínka "P", tj., že existuje prstencové okolí P nuly tak, že $g(x)\neq 1$ na P. Teď použijeme VOLSF na $\frac{e^x-g(x)}{g(x)}$ a dostaneme, že tato limita je jedna. Ta druhá $\frac{g(x)}{\sqrt{x}}$ ale zjevně vyjde $+\infty$ .

talent2211

mně stále prostě nejde do hlavy tohle: proč je $\frac{e^x-g(x)}{g(x)}$ pro $x\to0+$ 1?

Bati · 23. 12. 2014 17:59

↑ talent2211:
Aha, to je pravda :) To není. Zamyslím se jak to opravit a omlouvám se.

talent2211

vůbec nic se neděje :) taky s tím zkusím zabojovat

Bati · 23. 12. 2014 19:17 — Editoval Bati (23. 12. 2014 19:30)

↑ talent2211:
Nějak mě nic jednoduchého nenapadá. Takže bych asi přistoupil k obecně fungujícím postupům jako l'Hospitalovo pr., nebo lépe, udělat si Taylorův rozvoj funkce $\ln{\cos{x}}$ (do řádu 3 by to mohlo stačit).

To není tak složité: $\ln\cos{x}=\ln(1+(\cos{x}-1))=\ln(1-\tfrac{x^2}2+o(x^3))=-\tfrac{x^2}2+o(x^3)$ , takže dostáváme $\frac{e^x+\frac{2\ln\cos{x}}{x^2}}{\sqrt{x}}=\frac{e^x-1+o(x)}{\sqrt{x}}\approx\sqrt{x}\to0$ .

jelena · 25. 12. 2014 00:58

Zdravím v tématu,

↑ talent2211: děkuji za přepis.

-----------------

K limitě - vzpomněla jsem na toto téma a tak na 4. vzorec tabulkových. To by mohlo být použitelné pro $2\cdot\frac{\ln\cos{x}}{x^2}=\frac{\ln (\cos^2 x)}{x^2}=\frac{\ln (1+(-\sin^2 x))\cdot (-\sin^2x)}{-\sin^2x\cdot x^2}$ . Dokončení už by nebyl problém. Jak to vidíte? Děkuji.

Pavel · 25. 12. 2014 02:04

↑ talent2211:

$\lim_{x\to 0+}\frac{e^{x}+2\cdot \frac{\ln \cos x}{x^2}}{\sqrt{x}}= \lim_{x\to 0+}\sqrt{x}\left(\frac{e^{x}-1}x+\frac{1+2\cdot \frac{\ln \cos x}{x^2}}{x}\right)$

Stačí ukázat, že

$\lim_{x\to 0+}\frac{e^{x}-1}x=1$

a

$\lim_{x\to 0+}\frac{1+2\cdot \frac{\ln \cos x}{x^2}}{x}=0$

Původní limita je rovna $0$ .

jelena · 25. 12. 2014 11:07

↑ Pavel:

Zdravím a děkuji (ještě tady za diferenční rovnice pro kolegu děkuji),

z 1. příspěvku jsem pochopila, že odečtení/přičtení 1 kolega↑ talent2211: provedl (ale neviděla jsem, co je v samotném zadání). Nakonec ale vidím, že i mnou navrhovanou úpravu kolega provádí ↑ příspěvek 5: + následně ↑ Bati:. Tedy úprava část s ln je již vyřešena.

Ovšem $\lim_{x\to 0+}\frac{1+2\cdot \frac{\ln \cos x}{x^2}}{x}$
dává 0/0 (a zatím nevidím, jak bez l´Hospital). Původně jsem si představila využití vzorce $a^2-b^2$ (o krok dřív), ale nebudu ani rozepisovat, jelikož se mi v tom objevuje $\sqrt{2\cdot \frac{\ln \cos x}{x^2}}$ , pod odmocninou však v limitě je $(-1)$ , což nemohu použit.

Jen mi, prosím, řekni, zda počítáš s nějakou snadnou úpravou $\lim_{x\to 0+}\frac{1+2\cdot \frac{\ln \cos x}{x^2}}{x}$ (to bych pokračovala uvažovat u žehlení), nebo něco pěknějšího - o čem se nemám ani pokoušet uvažovat? :-) Děkuji.

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2014 00:08

limita funkce e^x, log(cos x)

#2 22. 12. 2014 09:07

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#3 22. 12. 2014 13:57

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#4 22. 12. 2014 14:19

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#5 22. 12. 2014 22:13 — Editoval talent2211 (22. 12. 2014 22:16)

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#6 23. 12. 2014 11:39

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#7 23. 12. 2014 12:54 Příspěvek uživatele talent2211 byl skryt uživatelem talent2211.

#8 23. 12. 2014 13:34

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#9 23. 12. 2014 13:46

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#10 23. 12. 2014 14:03 — Editoval talent2211 (23. 12. 2014 14:06)

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#11 23. 12. 2014 17:59

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#12 23. 12. 2014 18:12 — Editoval talent2211 (23. 12. 2014 18:12)

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#13 23. 12. 2014 18:33 — Editoval talent2211 (23. 12. 2014 18:34) Příspěvek uživatele talent2211 byl skryt uživatelem talent2211.

#14 23. 12. 2014 19:17 — Editoval Bati (23. 12. 2014 19:30)

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#15 25. 12. 2014 00:58

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#16 25. 12. 2014 02:04

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

#17 25. 12. 2014 11:07

Re: limita funkce e^x, log(cos x)

Zápatí