Matematické Fórum

A ta druhá:
Pokud by byly možné všechny možnosti (nezasáhne nikdo, zasáhne jeden, zasáhnou dva, zasáhnou všichni), pak pravděpodobnost, že zasáhne jen první a druhý je
(pravděpodobnost, že zasáhne první, krát pravděpodobnost zásahu druhým krát pravděpodobnost, že třetí mine).
Analogicky první a třetí a druhý a třetí je


Pokud ovšem víme, že zasáhli právě dva, pak součet těchto tří pravděpodobností musí dát jedna, budou však ve stejném poměru jako pravděpodobnosti výše. Pravděpodobnost, že zasáhnou právě druhý a třetí, pak bude

(tou hvězdičkou odlišuji tuto pravděpodobnost od pravděpodobnosti při všech možných výsledcích)

Je možné, že existuje nějaká hezčí metoda, ale já ji bohužel nevidím. Na pravděpodobnost moc nejsem.

To je zajímavý příklad.

Já bych si to rozdělil na případy, kdy začne A, kdy B a kdy C.

Nejjednodušší je varianta, kdy začne A. Pro něj je výhodnější nejprve trefit hráče B a pak doufat, že hráč C ho netrefí. A Pokaždé trefí. Vystřelí na B, vyřadí ho, pak střílí C na A a A má tedy 50% šanci na výhru, protože pokud ho C netrefí, on jeho ano. B nemá nárok na výhru, protože A ho vždy trefí. C má 50% šanci, protože jistě bude střílet na A a má 0,5 pravděpodobnost, že trefí.

Pokud začne střílet B, jistojistě zkusí zastřelit hráče A, protože pokud vystřelí na C a netrefí a pak C netrefí A, tak ptoom A trefí B. Takže pro B je lepší vystřelit na A, toho trefí na 80%. Pokud ho trefí, střílí na něj C s šancí 50% a tedy B má 50% na přežití, přičemž pak střílí na C s šancí 80%. Pokud trefí, vyhrál, pokud ne, opět doufá v 50% na přežití. Atd atd... ty další varianty jsou samozřejmě těžší.

Pokud začne C, opět je pro něj lepší zkusit trefit hráče A a pak doufat, že B ho mine a on naopak trefí B.

Bylo by zajímavé si všechny možnosti rozepsat. Ovšem přiznám se, že nevím pak, jak z toho dostat celkovou šanci. Pro každého hráče bychom měli dostat 3 čísla v závislosti na tom, kdo začne.

Důležité je 1. Pokud začne B nebo C, tak má šanci na výhru i pokud trefí, i pokud netrefí, takže to je třeba celé započítat. Varianta, že začne A je triviální a  tam sou šance 0,5-0-0,5.

EDIT: Dostal jsem se do problému. Řeším, jakou má šanci na výhru C, pokud začne B.
Pokud B mine A, A zasáhne C a tedy C je ze hry. Takže jedinou šancí, jak může C vyhrát pokud začne B je ta, že B trefí A (0,8) Pak má C 0,5 že trefí B. Pokud trefí (0,8*0,5=0,4) je vítěz, ale pokud netrefí, má šanci 0,4*0,2=0,08 že bude ještě střílet. Pak má šanci 0,08*0,5=0,04 že trefí. Pokud opět mine, má opět 0,04*0,2=0,008 že bude ještě střílet a pak zase 0,008*0,5=0,004 že trefí. Dostávám tady šance 0,4; 0,04; 0,004 - je možné to řešit jako geometrickou řadu? Pak by vyšlo, že pokud začne B, má hráč C šanci na výhru 4/9.

Přídávám tu ještě jeden pokud by někdo věděl, budu rád :


31. V urně jsou dvě koule, bílá a černá. Provádí se výběr po jedné kouli do té doby, než se vytáhne černá koule,
přičemž kdykoliv se vytáhne bílá koule, vrátí se a do urny se přidají ještě dvě bílé koule. Určete
pravděpodobnost, že se při prvních padesáti tazích černá koule nevytáhne.
(0,08)

jasně, v tomdle příkladu se moc nechytám