Matematické Fórum

↑ drazdzde:Posílám obrázek k příkladu , jestli jsem situaci dobře pochopila :

↑ Ivana:
Zdravím, nie je myslený pružný ráz tak, že gulička dopadne na rovinu a odrazí sa podľa zákona uhlu odrazu a dopadu a potom tým že preskočí dieru sa myslí, že dopadne za ňu?
Len potom nechápem prečo je gulička nehmotná?


Edit: Jelena ma predbehla, ale myslím, že z jej popisu sa to už dá dopočítať. Stačí ešte nájsť súradnice pre šikmý vrh napr. na wikipedii tuším sú alebo na http://fyzika.jreichl.com/

Úlohu bych vyřešil otočením otočením souřadnic. Nakloněnou rovinu bych převedl na vodorovnou, takže si celý experiment otočím o úhel alfa doprava. Nutno si uvědomit, že se stočí i vektor gravitačního zrychlení. V těchto nových souřadnicích, kde x bude souřanice vodorovná s rovinou a y bude kolmá k rovině si můžu zapsat pohybové rovnice.




Podle popisu experimentu jsou počáteční rychlosti vx0 a vy0 nulové. Počáteční dráhu dosadíme ze zadání a zrychlení v konkrétních směrech si spočteme pomocí goniometrických funkcí




Takže rovnice budou vypadat




Nulu (počátek souřadnic) si volím na patě kolmice k rovině procházející kuličkou. Nyní je potřenba zahrnout nějakým způsobem ty odrazy. Je tedy třeba napočítat kde budou. Z druhé pohybové rovnice si můžeme vyjádřit jak dlouho bude trvat interval mezi odryzy a z první ronice pak jejich rozmístění. Takže nejdřív kdy k nim dojde. Při odrazu musí platit, že y-ová souřadnice je nulová.




Víc než očekávaný výsledek. Kulička padá volným pádem z výšky h. Nyní když se zamyslíme nad úlohou v otočených souřadniccíh tak přídeme na to, že maximálná výška kuličky nad rovinou bude mezi jednotlivými odrazy stejná. Bude sice urychlovaná v x-ovém směru, ale toto zrychlení se nepromítne do y-ového směru, takže v y-ovém směru bude neustále skákat do stejné výšky (při dokonale pružných srážkách). Čas druhéh odrazu pak zjistíme jednoduše, že musí být



Proč přičítáme dvakrát víc než kolik bylo u prvního odrazu je zjevné. Jedná se o dobu od předchozího odrazu nikoli o dobu od bodu, kdy je kulička nahoře. Můžu tedy psát obecně že čas, kdy dojde k n-tému odrazu je



Nyní jsou důležité polohy odrazů. Ty spočítáme z první pohybové rovnice. Označím si polohu n-tého odrazu jeko x_n.



Když se chívli zamyslím nad gemoetrií obrázku tak zjistím, že souřadnice díry jsou




Nyní je třeba provést poměrně složitý vyhodnocovací proces :-). Musíme stanovit, kolikrát se kulička stačila odrazit než přišel její poslední skok do díry. Je tedy třeba určit jaké n odpovídá vzdálenosti díry s_x. To je trochu problém neboť s_x je závislé na L jehož určení je závislé na tom, kolikrát se kulička odrazila. Takže nám vznikl logický kruh. Vybruslit z něj můžeme tak, že se nachvíli přesnume zpět do původních neotočených souřadnic. V těchto nových souřadnicích si označím osu rovnoběžnou se zemí jako 'a' a osu kolmou k zemi jako 'b'. Pro vzdálenost n-tého odrazu pak bude platit.



A vzdálenost díry v těchto souřadnicích bude



Takže ukolém je najít co největší n tak, aby platilo, že





Tím již máme stanoveno, kolikrát se kuička odrazila. Tím máme jasně určený bod, od kterého kulička provede šikmý vrh přímo do díry. A tím končí můj příspěvěk ať se taky trochu potrápí jiní :-). Připomínám jen polohu kuličky u n-tého odrazu



a pohybové rovnice.