Matematické Fórum

BukviceJanča · 08. 03. 2009 21:59

S tímto si bohužel nevím rady. Budu moc vděčná, pokud mi někdo pomůže a prosím radši s postupem, jsou to pro mě dost náročné příklady :-)

1)Předpokládejme, že an je geometrická posloupnost. Symbol označuje množinu všech přirozených čísel počínaje číslem 2. Dokažte pravdivost následujícího výroku.

2)Určete ostrý úhel x, tak aby sin x; tg x a 1/cos x byly tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti.

3) Dokažte. V geometrické posloupnosti s kvocientem q platí pro každé přirozené číslo n

Děkuji

Marian · 08. 03. 2009 22:09

↑ BukviceJanča:
Nejprve by se měla řešit úloha číslo 3. Ta se využije k důkazu tvrzení obsaženém v úloze 1 a podobně pro řešení úlohy 2. Trojka se dokazuje matematickou indukcí - nevím, zda-li ti tato metoda něco říká. Druhá je pak snadná. Z úlohy 3 plyne lehce pro všechna přirozená čísla větší nebo rovno 2, že
$a_{n-1}=a_1q^{n-2}$ a
$a_{n+1}=a_1q^{n}$ . Proto
$\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}=\sqrt{a_1q^{n-2}\cdot a_1q^{n}}=\sqrt{a_1^2q^{2n-2}}=\sqrt{(a_1q^{n-1})^2}=|a_1q^{n-1}|=|a_n|.$

K ostatním řeknou více jistě kolegové, není to těžké.

BukviceJanča · 08. 03. 2009 22:14

Paráda, matematická indukce mi něco říká, tak já na to kouknu a snad to pochopím. děkuji

BukviceJanča · 08. 03. 2009 22:22

Tak tu třetí úlohu chápu :-). Bohužel ty dvě předchozí mi ještě nic neříkají.

halogan · 08. 03. 2009 22:41

↑ BukviceJanča:

Ta první vychází z definice.

$a_n = a_n \nl a_{n-1} = \frac{a_n}{q} \nl a_{n+1} = a_n \cdot q \nl a_{n-1} \cdot a_{n+1} = {a_n}^2 \nl \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} = |a_n|$

Cheop · 09. 03. 2009 08:54 — Editoval Cheop (09. 03. 2009 11:13)

↑ BukviceJanča:
Př. 2)
V geometrické posloupnosti platí: (pro kvocient řady)
$q=\frac{a_2}{a_1}$ pro náš případ:
$q=\frac{\tan\,\alpha}{\sin\,\alpha}=\frac{1}{\cos\,\alpha}$
Dále platí:
$a_1\cdot q^2=a_3$ pro náš případ:
$\sin\,\alpha\cdot\frac{1}{\cos^2\,\alpha}=\frac{1}{\cos\,\alpha}\nl\tan\,\alpha=1\nl\alpha=45^\circ$

PS: Pochopitelně místo $\,\alpha\,$ má být $\,x\,$