Matematické Fórum

exTNT · 28. 12. 2014 09:40

Zdravím, mohl byste mi prosím někdo poradit s příkladem: Z každého vrcholu čtverce o straně a je opsána čtvrtkružnice o poloměru a. Máme vypočítat obsah středového "čtverce se zaoblenými stranami".
Už nad tím spekulujeme druhý den a nějak ne a ne na to přijít. Kdyby šlo o celý ten "gotický čtyřlístek", tak to ještě dáme, ale tohle...
Moc díky.

Eratosthenes · 28. 12. 2014 10:10

ahoj ↑ exTNT:,

ty čtvrtkružnice rozdělí čtverec celkem na devět útvarů, z nichž dvě čtveřice jsou shodné plus ten prostředek, který vás zajímá. Nedáte z toho dohromady nějakou soustavu rovnic typu

a+4b+4c = S_ctverce

(+ ještě další dvě rovnice nějak podobně?)

exTNT · 28. 12. 2014 10:21

Díky ↑ Eratosthenes:,

zkusím, už mám zavařenou hlavu, jak různě odečítám plochy čtvrtkruhů a čoček od ploch čtverců a trojúhelníků... ;-)

jelena · 28. 12. 2014 10:24

Zdravím,

původně jsem chtěla téma laskavou moderatorskou rukou utnout, že jde o úlohu ze zajímavých od pana Kováře, ale zde je jiná verze zadání, tak můžeme ponechat. ↑ Eratosthenes: nebude dobré vnitřní "čtyřúhelník" rozdělit na 4 "trojúhelníky", u kterých potřebujeme obsah kruhového odseku? Děkuji.

Eratosthenes · 28. 12. 2014 11:16

ahoj ↑ jelena:,

jelena napsal(a):
nebude dobré vnitřní "čtyřúhelník" rozdělit na 4 "trojúhelníky", u kterých potřebujeme obsah kruhového odseku?

Může být, ale asi dospějeme jen k rovnici

a+3b+2c = pi*r^2/4,

kterou dostaneme složením jedné čtvrtkružnice z částí a, b, c (to je trochu jednodušší).

Takže už máme dvě rovnice:

a+4b+4c = r^2
a+3b+2c = pi*r^2/4

(r je strana čtverce)

Tak ještě tu třetí ....

zdenek1

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-12/63330_pic1.png
při tomto značení máme tvě rovnice
$\begin{cases}3A+2C+B=\frac\pi4a^2\\ 4A+4C+B=a^2\end{cases}$
A k tomu

ten červený "trojúhelník"
$2A+C+B=\frac\pi3a^2-\frac{\sqrt3}{4}a^2$

Zbytek jsou počty

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

edit: oprava

Eratosthenes · 28. 12. 2014 11:51

ahoj ↑ zdenek1:,

ano, to je ta třetí - jenom bych ve značení asi přehodil A <-> B

exTNT · 28. 12. 2014 13:01

Díky↑ zdenek1:,
Tak to je krása, ale pro je v tom, že junior ve škole ještě soustavu tři rovnic nebral...

Nešlo by to spočítat přes sečnu? Víme, že poloměr kružnice je "a", takže víme i obvod kružnice, body, kde se ty čtvrtkružnice protínají, jsou po 30ti stupních, takže víme i délku kruhové úseče (1/12) a teď bych z těchto hodnot potřeboval spočítat délku tětivy - tím bych snadno zjistil vnitřní čtverec a asi i ty "poločočky" nad jeho stranami, ne?

Eratosthenes · 28. 12. 2014 13:54

ahoj ↑ exTNT:,

to by šlo taky. Je-li strana čtverce a, pak délka tětivy oblouku, o který jde, je $2a\sin \frac {\pi} {12}$

zdenek1 · 29. 12. 2014 11:10

↑ exTNT:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-12/46955_pic.png
Jde to samozřejmě i přes ty úseče, jen nevím, zda to bude pro někoho, kdo neumí řešit soustavy rovnic, schůdnější.

Plocha pod obloukem CB a nad základnou z je "kruhová výseč"-"trojúhelník ABC", tj.
$S_1=\frac{1}{12}\pi a^2-\frac14a^2$ (obsah tr. $\frac12a^2\sin\alpha$ )

Pak je tam čtverec se stranou $z$
Je $\frac{\frac z2}{a}=\sin15^\circ \ \Rightarrow \ z=2a\sin 15^\circ$

Celková plocha
$S=4S_1+z^2=4\left(\frac{1}{12}\pi a^2-\frac14a^2\right)+(2a\sin 15^\circ)^2$

Pokud to bude chtít dál upravit, musí použít vztah $\sin\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha }{2}}$
takže $\sin15^\circ =\sqrt{\frac{1-\cos30^\circ }{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}}$
a dosazení
$S=4\left(\frac{1}{12}\pi a^2-\frac14a^2\right)+4a^2\frac{2-\sqrt3}{4}=\dots$

Honzc · 01. 01. 2015 10:45 — Editoval Honzc (01. 01. 2015 10:48)

↑ zdenek1:
Zdravím,
ve výpočtu $B=\frac{a^2}{4}\left[\frac\pi3+1-\sqrt3\right]$ nemá být $\frac{1}{4}$ .
Tedy správně $B=a^2\left(\frac\pi3+1-\sqrt3\right)$ (asi překlep při přepisování)

sarna · 04. 01. 2015 07:45 — Editoval sarna (04. 01. 2015 07:48)

↑ zdenek1: Ahoj mohu se prosim zeptat jak si zjistil $\frac\pi3a^2-\frac{\sqrt[]{3}}{4}a^{2}$ ostatni kroky jsou mi jasne. Dekuji

zdenek1 · 04. 01. 2015 08:46

↑ sarna:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/57181_pic.png
Vyšrafovaná plocha $x$ = obsah kruhové výseče (šestina obsahu kružnice) - obsah modrého trojúhelníka (rovnostranného)
$x=\frac16\pi a^2-\frac{\sqrt3 a^2}4$

obsah červeného "trojúhelníka" = obsah modrého tr. + 2x

$S=\frac{\sqrt3 a^2}4+2\left(\frac16\pi a^2-\frac{\sqrt3 a^2}4\right)=\dots$

zdenek1 · 04. 01. 2015 08:48

↑ Honzc:
Díky, opraveno

Honzc · 04. 01. 2015 08:59

↑ sarna:
Nejjednodšší způsob výpočtu je asi tento:
Vzhledem k symetričnosti úlohy je jasné, že trojúhelník ABC (dle značení ↑ zdenek1:) je jedním z trojúhelníků tvořících pravidelný 12-ti úhelník (360/12=30)
Pak obsah požadovaného útvaru je složen ze 4 kruhových úsečí nad stranou BC a čtvece o straně BC
Dále víme,že poloměr opsané kružnice 12-ti úhelníku je délka strany původního čtverce.
Aby se nám lépe počítalo, zvolme stranu původního čtverce a=1 (pro výpočet pak náš výsledek jednoduše vynásobíme výrazem $a^{2}$ )
A nyní už jednoduché počty:
Podíváš-li se např. Sem
pak je: 4S1 rovno rozdílu třetiny plochy kruhu a třetiny obsahu pravidelného 12-ti úhelníku tedy: (při poloměru opsané kružnie a=r=1) $4S_{1}=\frac{\pi }{3}-1$
Délka strany pr.12-ti úhelníka je tamtéž: $s=2sin15^\circ \Rightarrow s^{2}=S_{2}=4(\frac{1-cos30^\circ }{2})=2-\sqrt{3}$
A pak už jen sečteme $S=\frac{\pi }{3}-1+2-\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}+1-\sqrt{3}$ (pro a=r=1)
Pro stranu a: $S_{a}=(\frac{\pi }{3}+1-\sqrt{3})a^{2}$

sarna · 04. 01. 2015 08:59 — Editoval sarna (04. 01. 2015 09:05)

↑ zdenek1:
dekuji zdenku!
honzc take diky

Matematické Fórum

#1 28. 12. 2014 09:40

Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#2 28. 12. 2014 10:10

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#3 28. 12. 2014 10:21

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#4 28. 12. 2014 10:24

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#5 28. 12. 2014 11:16

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

jelena napsal(a):

#6 28. 12. 2014 11:47 — Editoval zdenek1 (04. 01. 2015 08:47)

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#7 28. 12. 2014 11:51

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#8 28. 12. 2014 13:01

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#9 28. 12. 2014 13:54

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#10 29. 12. 2014 11:10

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#11 01. 01. 2015 10:45 — Editoval Honzc (01. 01. 2015 10:48)

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#12 04. 01. 2015 07:45 — Editoval sarna (04. 01. 2015 07:48)

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#13 04. 01. 2015 08:46

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#14 04. 01. 2015 08:48

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#15 04. 01. 2015 08:59

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

#16 04. 01. 2015 08:59 — Editoval sarna (04. 01. 2015 09:05)

Re: Gotický čtyřlístek resp. jeho střed...

Zápatí