Matematické Fórum

Kdosi · 29. 12. 2014 13:26

Zdravím,
nejprve bych se chtěl omluvit, pokud jsem téma zařadil do špatné sekce-nebyl jsem si jistý.
K problému:
Pracoval jsem na jednom problému s určitou funkcí, ale zjistil jsem, že se chová "jaksi zvláštně". Zřejmě je to problém mé nedostatečné korektnosti, nebo něčeho podobného, byl bych rád, kdyby jste mi ukázali, kde dělám chybu.
Mějme funkci, kterou si pro naše potřeby definujeme na $N_{0}$ (přirozená čísla a nulu). Funkce vypadá takto: $f{(n)}=\frac{1-(-1)^{n}}{2}$ . Obor hodnot by tedy měla představovat množina $\{1; 0\}$ . Pro sudá $n$ a nulu je hodnota f-ce $0$ , pro lichá $n$ $1$ .
To vše bylo zatím jasné, jenže problém přišel ve chvíli, kdy jsem počítal se složenou f-cí $f(f(n))$ .
Šel jsem na to dvěma způsoby:
1)
$f(f(n))=\frac{1}{2}(1-(-1)^{f(n)})$ Pro sudá $n$ a nulu je hodnota f-ce v exponentu $0$ , tím pádem $f(f(n))$ také nula. Pro lichá $n$ je hodnota f-ce v exponentu $1$ , tím pádem i $f(f(n))$ má hodnotu jedna.
Jenže potom jsem na tento problém podíval jinak:
2)
$f(f(n))=\frac{1}{2}(1-(-1)^{f(n)})=\frac{1}{2}(1-(-1)^{(\frac{1}{2}(1-(-1)^{n}))})$ a postupně jsem upravoval:
$=\frac{1}{2}(1-(-1)^{(\frac{1}{2}(1-(-1)^{n}))})=\frac{1}{2}(1-\sqrt{(-1)^{(1-(-1)^{n})}})=\frac{1}{2}(1-\sqrt{\frac{(-1^1)}{(-1)^{(-1)^n}}})$ Jelikož $(-1)^{(-1)^n}=-1$ $\forall{n}\in\mathbb{N}$ , můžeme v rovnosti pokračovat takto: $\frac{1}{2}(1-\sqrt{\frac{(-1^1)}{(-1)^{(-1)^n}}})=\frac{1}{2}(1-\sqrt{\frac{-1}{-1}})=0$ Což by mělo platit $\forall{n}\in{N_0}$ .
To si však odporuje s první variantou výpočtu. Rád bych Vás tedy požádal, jestli by jste mne nějak "nenaťukli" k opravě nesrovnalostí.
Děkují, přeji příjemný po-Vánoční čas. :)

BakyX · 29. 12. 2014 13:44 — Editoval BakyX (29. 12. 2014 13:44)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Kdosi · 29. 12. 2014 13:51

↑ BakyX:
Můžu se zeptat, proč je to pro lichá $n$ problém?

kryštof · 29. 12. 2014 14:10

↑ Kdosi:
Vyjde odmocnina z -1.

Kdosi · 29. 12. 2014 14:27 — Editoval Kdosi (29. 12. 2014 14:28)

↑ kryštof:
Aha, jejda, divím se, že mi to nedošlo, díky.

Teď mám ale jednu otázku:
Vyplývá z toho tedy, že f-ce $f(f(n))$ není definována pro lichá $n$ , nebo jen po té úpravě co jsem provedl to pro lichá n není definované a tedy můj původní postup ("1)") je správný? (tuším, že jen po té úpravě, mám pravdu?)

kryštof

↑ Kdosi:
Funkce f(f(n)) je definovaná i pro lichá n, ale ta úprava, kterou jsi provedl, neplatí, protože $x^{\frac{m}{n}}=(x^{m})^{\frac{1}{n}}$ platí jen pro kladná x, což -1 není.

Kdosi · 29. 12. 2014 15:05 — Editoval Kdosi (29. 12. 2014 16:22)

↑ kryštof:)
Moc děkuji. Přístup který jsem označil jako "1)" je korektní?

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2014 13:26

Problém s f-cí

#2 29. 12. 2014 13:44 — Editoval BakyX (29. 12. 2014 13:44)

Re: Problém s f-cí

#3 29. 12. 2014 13:51

Re: Problém s f-cí

#4 29. 12. 2014 14:10

Re: Problém s f-cí

#5 29. 12. 2014 14:27 — Editoval Kdosi (29. 12. 2014 14:28)

Re: Problém s f-cí

#6 29. 12. 2014 14:53 — Editoval kryštof (29. 12. 2014 14:54)

Re: Problém s f-cí

#7 29. 12. 2014 15:05 — Editoval Kdosi (29. 12. 2014 16:22)

Re: Problém s f-cí

#8 29. 12. 2014 15:35 Příspěvek uživatele byk7 byl skryt uživatelem byk7.

Zápatí