Matematické Fórum

paja01 · 10. 12. 2012 15:28

Ahoj, mám problém s výpočtem tohoto diferenciálu funkce, mohl bych vás prosím poprosit o radu jak na to??? Moc děkuju

2. Předpokládejme, že denní produkce určitého podniku je dána funkcí f:y=1600x^(1/3) jednotek, kde představuje investici v tisících korun. Pomocí diferenciálu odhadněte:
a) kolik procent klesne denní produkce, sníží-li se investice o 5%
b) kolik procent je třeba zvýšit investici, má-li produkce zvýšit o 3%.

ještě jednou moc děkuju

jelena · 10. 12. 2012 22:07

Zdravím,

a) zadání něco chybí

kde "co?"představuje investici v tisících korun.

b) duplicitní téma smažu - je to proti pravidlům. Děkuji za pochopení.

paja01 · 10. 12. 2012 23:39

omlouvám se, mělo tam být KDE X PŘEDSTAVUJE

děkuji za opravu

jelena · 11. 12. 2012 09:45

↑ paja01:

děkuji za upřesnění, teorie a vzorové úlohy jsou např. zde (řekla bych, že "jak se změní" požaduje výpočet relativní změny)

paja01 · 11. 12. 2012 19:09

↑ jelena: Moc děkuju, ale mne chybí "odrazový bod", protože mi příjde, že ve všech i řešených příkladech co jsem našel je geometrický význam, což je jistě ten hlavní, ale pořád nevím, kde začít. Děkuji

jelena · 12. 12. 2012 11:49

↑ paja01:

to je obdobné, pokud si zakreslíš graf funkce "denní produkce"=f("investice").

a) kolik procent klesne denní produkce, sníží-li se investice o 5%

označím pokles investic $\Delta x=-0.05x_0$ ( $x_0$ je výchozí stav považovaný za 100 %) a tento zápis se použije do výpočtu absolutní změny denní produkce - vzorec pro diferenciál. V zápisu zůstává $x_0$ , proto navrhuji počítat relativní změnu denní produkce, nebo nechat s $x_0$ - absolutní změna.

Obdobně pro 2. část:

b) kolik procent je třeba zvýšit investici, má-li produkce zvýšit o 3%.

jen máme $\Delta y=0.03y_0$ (a vzorec 7.3 v odkazu). Takový je můj návrh, zkus to sepsat, zda to dává smysl, případně si to překontrolovat přesně.

paja01 · 12. 12. 2012 21:36

↑ jelena:Děkuju moc, víš já jsem se s diferenciálem nikdy nesetkal a ve škole nám řekli, at si to nastudujem sami

takže jestli to chápu tak diferenciál funkce x je defakto derivace funkce x. takže já zderivuji 1600 . (-0.005) . x ^ (1/3)

a to bude diferneciál
a pak vezmu f(x) - df(x) to celé lomeno h a budu mít výsledek

Ale jak je to s tím za b? v té definici jsem neobjevil, kam dát y0

Děkuji velice moc za ochotu a ještě jednou se omlouvám

jelena · 13. 12. 2012 10:20

↑ paja01:

není za co. Pokud si to máte nastudovat, potom je dobré nejdřív teorii, než jednu praktickou aplikaci. Přidej, prosím, náhled (odkaz) na váš materiál. Je třeba si představit, jak bys počítal změny přesně - tedy na grafu funkce $y=1600x^{1/3}$ si vyznačíš bod $A(x_0,y_0)$ , který považuješ za bázový a ke kterému se počítá:

a) vliv snížení investice o 5% (kde je bod na grafu? Jak vypadá zápis funkce pro bod odpovídající snížení)?
b) nárůst produkce o 3 % (opět stejné otázky).

A potom se pokusit aplikovat užití diferenciálu pro přibližný odhad změn. Zkus ještě na problému zapracovat. Děkuji.

paja01 · 15. 12. 2012 20:06

↑ jelena: zkusil jsem to udělat, už mám i graf, našel jsem dokonce nekonstantní řešení (dy/dx) =

(3/1600)y=3*x^(1/3) + C

ale pořád, i když nad tím stále přemýšlím, nemůžu najít to správné řešení.
Omlouvám se ti Jeleno, ale toto je pro mne hodně důležitý příklad.
Předem ti moc děkuju.

jelena · 16. 12. 2012 12:50

↑ paja01:

není za co se omlouvat. Tak to zkusím ještě jednou zapsat:

Máme bázovou hodnotu produkce $y_0=1600x_0^{\frac{1}{3}}$ , chceme vědět dopad na produkci, když je změna investice $\Delta x=-0.05x_0$ .
Použití diferenciálu:
$y_1-y_0\doteq y^{\prime}(x_0)\Delta x=y^{\prime}(x_0)\cdot (-0.05x_0)$ to je absolutní změna produkce.

Relativní změna produkce (a to si myslím, že je odpověď na dotaz "Jak se změní?") je $\frac{y_1-y_0}{y_0}$ .

b). $\Delta y=0.03y_0$ , tedy $0.03y_0\doteq y^{\prime}(x_0)\Delta x$ , odsud: $\Delta x\doteq \frac{0.03y_0}{y^{\prime}(x_0)}$

Já nějak nevidím důvod použití diferenciální rovnice. Tak to možná vidím nesprávně.

paja01 · 16. 12. 2012 14:09

↑ jelena: Aha, takže tohle se nedá počítat přes diferenciální rovnici, takže vezmu jak jsi napsala Y0 (to bude ta proměnná se změněnou hodnotou) a Y1 to bude ta s původní hodnotou a dosadím do toho vzorečku jak jsi napsala, že jo?

jelena · 16. 12. 2012 14:21

↑ paja01:

no já si to tak představuji, že nepotřebuji diferenciální rovnici.

takže vezmu jak jsi napsala Y0 (to bude ta proměnná se změněnou hodnotou) a Y1 to bude ta s původní hodnotou a dosadím do toho vzorečku jak jsi napsala, že jo?

$y_0$ - je původní (bázová) hodnota produkce,
$y_1$ - je hodnota produkce po změně (investic).

Mathemagic · 29. 12. 2014 15:24

Zdravím,

dostal jsem naprosto stejný příklad, ale jelikož nerozumím výpočtům, které jsou výše napsány, mohl bych poprosit někoho o konkrétnější dopočtení popř. výpočet tohoto příkladu?

Díky

Rumburak

↑ Mathemagic:

Ahoj. Pokusím se vysvětlit to teoreticky.

Má-li funkce $f$ definovaná na nějakém (pro jednoduchost předpokládejme, že oboustranném) okolí $U$ bodu $a$
vlastní derivaci

$f'(a) := \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ,

plyne z toho podle definice vlastní limity, že je-li dáno číslo $\varepsilon > 0$ , potom existuje $\delta > 0$ takové,
že pro libovolné $x \in (a - \delta, a + \delta) , x \ne a$ platí odhad

$\left| \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f'(a) \right| < \varepsilon$ ,

odtud jednoduchou úpravou

(1) $|f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)| < \varepsilon |x-a|$ ,

pro $x = a$ nutno zde znaménko nerovnosti nahradit rovnítkem. Výraz $f(a) +f'(a)(x-a)$
tedy za uvedených předpokladů vyjadřuje přibližnou hodnotu výrazu $f(x)$ , absolutní chyba tohoto odhadu
je shora omezena číslem $\varepsilon |x-a|$ . To je podstatou věci.

Funkce $h \mapsto f'(a)h$ se nazývá diferneciálem funkce $f$ v bodě $a$ , proto o odhadu (1) říkáme,
že jsme funkci $f$ v okolí bodu $a$ ohadli jejím diferenciálem.

Mathemagic · 29. 12. 2014 18:25

Děkuji za teoretické vysvětlení, šlo by tam, prosím, i dosadit?

Pavel · 29. 12. 2014 19:14 — Editoval Pavel (29. 12. 2014 19:14)

↑ Rumburak:

Jen pro doplnění a lepší pochopení - absolutní chyba odhadu

$|f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)| < \varepsilon |x-a|$

je pro malou odchylku $h=|x-a|$ na proměnné $x$ mnohem menší, než samotná odchylka $h$ .

V tom je síla diferenciálu. Proto se aproximuje funkce $f$ v bodě $a$ příslušnou tečnou a ne jinou přímkou procházející tímtéž bodem.

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2012 15:28

výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#2 10. 12. 2012 22:07

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#3 10. 12. 2012 23:39

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#4 11. 12. 2012 09:45

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#5 11. 12. 2012 19:09

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#6 12. 12. 2012 11:49

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#7 12. 12. 2012 21:36

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#8 13. 12. 2012 10:20

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#9 15. 12. 2012 20:06

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#10 16. 12. 2012 12:50

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#11 16. 12. 2012 14:09

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#12 16. 12. 2012 14:21

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#13 29. 12. 2014 15:24

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#14 29. 12. 2014 16:47 — Editoval Rumburak (29. 12. 2014 16:50)

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#15 29. 12. 2014 18:25

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

#16 29. 12. 2014 19:14 — Editoval Pavel (29. 12. 2014 19:14)

Re: výpočet denní produkce podniku diferenciální rovnicí

Zápatí