Matematické Fórum

Tulda · 29. 12. 2014 19:00

Našla by se tu dobrá duše, která by mi s tímhle pomohla. Předem děkuji :)

(x+2)y´+xy=0

y´´´´-y´´´=24x

a nebo zadání na obrázku níže

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-12/75987_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.jpg

Pavel · 29. 12. 2014 19:43

↑ Tulda:

1. separace proměnných

2. lineární dif. rovnice s konst. koeficienty - charakteristická rovnice + odhad řešení podle pravé strany

Tulda · 29. 12. 2014 19:48

↑ Pavel:
Především moc děkuju za reakci.

Já vím jak řešit tyhle typy úloh. Jen u těchto dvou konkrétních mě to nějak nejde. Potřeboval bych trochu detailnější nástin prosím.

Pavel · 29. 12. 2014 21:08

↑ Tulda:

ad 1) Separuj výrazy v rovnici:

$\frac{y'}{y}=-\frac{x}{x+2}$

dále použij $y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ dosaď, separuj a integruj, tj.

$\int\frac{\mathrm dy}{y}=-\int\frac{x}{x+2}\,\mathrm dx$

ad 2) Řeš nejdříve pomocnou dif. rovnici s homog. pravou stranou, tj.

$y^{(4)}-y'''=0$

prostřednictvím charakteristické rovnice $k^4-k^3=0$ . Obecné řešení pomocné dif. rovnice označ např. $y_1$ .

Dále polož $y_2=(Ax+B)\cdot x^3$ (proč právě tento tvar?) a urči $A,B$ tak, aby byla splněna původní dif. rovnice.

Její obecné řešení je pak ve tvaru $y=y_1+y_2$ .

Tulda · 29. 12. 2014 21:29

↑ Pavel:

Super. druhou úlohu jsem podle toho pochopil, měl jsem problém s určením partikulárního řešení (chybělo mi x3).

Ještě malá prosba. První příklad jsem vypočítal přesně jak popisuješ ale pravá strana mě zlobí.

Když zintegruji vychází mi:

$ln|y|=ln\mathrm{e}^{-x}-2.ln|x+2|+lnc$

zbavím se přirozeného logaritmu a vychází mi:

$y=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{2c(x+2)}$

je to správně?

Jj · 29. 12. 2014 21:38 — Editoval Jj (29. 12. 2014 21:51)

↑ Tulda:

Dobrý večer.

Řekl bych, že

$\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{x}{x+2}\, dx=-\int \frac{x+2-2}{x+2}\, dx=-\int\left( 1-\frac{2}{x+2}\right)\, dx$

$\ln |y|=-x + 2\ln|x+2|+ln C\Rightarrow y =C\cdot e^{-x}\cdot \ln(x+2)^2$

Tulda · 29. 12. 2014 21:44

↑ Jj:

Máte pravdu.

Takže tedy nakonec:

$y=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{{c(x+2)^{2}}}$

Jj · 29. 12. 2014 22:09

↑ Tulda:

Ne, tady ↑ Jj: jsem ještě udělal opravu. Takže nakonec:

$y =C\cdot e^{-x}\cdot \ln(x+2)^2$

Poznámka:

Postup řešení je možno ověřovat po krocích programem MAW - Odkaz

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2014 19:00

Diferenciální rovnice

#2 29. 12. 2014 19:43

Re: Diferenciální rovnice

#3 29. 12. 2014 19:48

Re: Diferenciální rovnice

#4 29. 12. 2014 20:57 Příspěvek uživatele Pavel byl skryt uživatelem Pavel.

#5 29. 12. 2014 21:08

Re: Diferenciální rovnice

#6 29. 12. 2014 21:29

Re: Diferenciální rovnice

#7 29. 12. 2014 21:38 — Editoval Jj (29. 12. 2014 21:51)

Re: Diferenciální rovnice

#8 29. 12. 2014 21:44

Re: Diferenciální rovnice

#9 29. 12. 2014 22:09

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí