Matematické Fórum

↑ Lucky11: Sel bych na to docela otrocky - tech polynomu neni zase tolik a Z5 je teleso. Proste si vypis vsechny normovane polynomy stupne 2 nad Z5 (tech je 25) a vyskrtej ty, ktere nejsou ireducibilni (nad Z5). K tomu vyskrtavani muzes pouzit faktu, ze je-li nejaky polynom 2. stupne reducibilni nad nejakym telesem, pak uz nutne musi mit v tomto telese koren. Tedy staci vyskrtat vsechny polynomy, ktere jsou soucinem dvou linearnich normovanych polynomu nad Z5 (takovych polynomu je 5, tedy celkem 25 moznosti, ale urcite se bude neco opakovat, takze vsechno nevyskrtas).

Řekněme, že máme normovaný polynom stupně 2: x^2+ax+b. Protože 4 není dělitelem nuly, má tento polynom stejné kořeny jako
4x^2+4ax+4b. Ten můžeme upravit do tvaru (2x+a)^2-(a^2-4b).  Pokud a^2-4b není kvadratický zbytek mod 5, pak polynom nemůže mít kořen nad Z_5. Naopak pokud a^2-4b je rovno c^2 (mod 5), je kořenem 3(c-a). Polynom je ireducibilní, právě když a^2-4b=a^2+b je kvadratický nezbytek, tj. 2 nebo 3. Vyhoví tedy všechny dvojice (a,2-a^2) a (a,3-a^2).