Matematické Fórum

undisputed · 30. 12. 2014 18:28

Zdravím,
momentálne riešim polynómy a narazil som na 2 typy príkladov, s ktorými neviem ani začať:

1. Nájdite také a, aby sa súčet dvoch koreňov polynómu $p(x)=2x^{3}-x^{2}-7x+a$ rovnal jednej
2. Nájdite také a, aby sa jeden z koreňov polynómu $p(x)=x^{3}-7x+a$ rovnal dvojnásobku druhého koreňa

Správne výsledky by mali byť (nemusia) 1. $a=-3$ 2. $a=+-6$

Vopred ďakujem za akúkoľvek pomoc.

seliga.adam · 30. 12. 2014 18:50

1.

Tak skús napríklad povedať, že prvý koreň nech je, čo ja viem $A$ . Druhý si označ $B$ . Musí platiť, že $A + B = 1$ . Inak povedané $B = 1 - A$ . No keďže je pred $x^3$ číslo $2$ , tak sa musí niekde v polynóme objaviť pri $x$ číslo $2$ , majme teda:
$(2x - C)(x-A)(x-B) = (2x - C)(x - A)(x - 1 + A)$
kde $C$ je tiež nejaký koreň. Po roznásobení dostaneš:
$2x^3 + x^2(-C -2) + x(-2A^2 + 2A + C) + (A^2 C - AC)$
Dvojka sedí, ďalej z čísla pred $x^2$ musí platiť, že:
$-C - 2 = -1$
Z čoho dostávame, že $C = -1$ . Rovnicu teda upravím, nech sa mi s ňou lepšie pracuje:
$2x^3 - x^2 + x(-2A^2 + 2A - 1) + (-A^2 + A)$
Musí platiť, že
$-2A^2 + 2A - 1 = -7$
no to je obyčajná kvadratická rovnica, pre ktorú dostaneš korene
$A_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$
Tak si vyber jedno z toho, a dopočítaj hodnotu $a$ , ktorá je $-A^2 + A$ . Keď zvolíš prvé číslo, tak dostaneš $a = -3$ .

Možno zbytočne komplikovaný postup, ale funguje.

Podobnou úvahou vypočítaš aj druhú rovnicu.