Matematické Fórum

Argcotgh x · 31. 12. 2014 14:30

Zdravím, mám problém s integrálem.

Zadání:

$\int_{}^{}\frac{3t^3}{(t^{3}-1)^{2}}dt$

Řešení:

$\frac{t}{1-t^3}+\frac{1}{3}ln|t-1|-\frac{1}{6}ln(t^2+t+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}arctg\frac{2t+1}{\sqrt{3}}$

Všechny členy řešení mi vycházejí, až na první - integrál

$\int_{}^{}\frac{1}{t^3-1}dt$

Který se má rovnat

$\int_{}^{}\frac{1}{t^3-1}dt=\frac{t}{1-t^3}$

Možná že je triviální, ale nedaří se mi na něj přijít. Mohu poprosit o pomoc? Předem díky.

Jj · 31. 12. 2014 15:59

↑ Argcotgh x:

Dobrý den.

Řekl bych, že neplatí $\left(\frac{t}{1-t^3}\right)'=\frac{1}{t^3-1}$ , takž ve výpočtu je zřejmě něco v nepořádku.

Argcotgh x · 31. 12. 2014 16:03

Dobrý den, děkuji za podpoření, taky jsem to zkoušel derivovat a nevycházelo to. Nevím však, jak na ten integrál - nenapadá mě rozumná substituce, která by tam nepřidala člen navíc.

tomas janeta · 31. 12. 2014 17:04

Dobrý ,možno sa mýlim ale nemohla by to byť $t^{3}-1=z ,3t^{2}dt=dz$ .
Ak sa mýlim prepáčte ,som prvák na strednej

Argcotgh x · 31. 12. 2014 17:12

To právě nejde, v integrandu mi "chybí" ten člen $3t^{2}$ , abych mohl použít tuhle substituci.

tomas janeta · 31. 12. 2014 17:28

Prepáčte ,pred chvíľou som chybu zbadal sám .Integrovať sa ešte len učím... ,ešte raz prepáčte

Brzls · 31. 12. 2014 17:30

↑ Argcotgh x:

$\int_{}^{}\frac{1}{t^3-1}dt$ je pořád racionální funkce. Pokud tě nenapadá jiná možnost, rozlož jí na parciální zlomky...

Jj · 31. 12. 2014 18:59 — Editoval Jj (31. 12. 2014 19:00)

↑ Argcotgh x:

Řekl bych, že se tam objevila chybka už někde v průběhu výpočtu.

Když s pomocí WA rozložím integrand na parciální zlomky a zintegruju jednolivé výrazy, dostanu

$\int \frac{3t^3}{(t^3-1)^{2}}\,dt=\int \left(\frac{1}{3 (t-1)^2}+\frac{1}{3 (t-1)}+\frac{t+1}{(t^2+t+1)^2}-\frac{t+3}{3 (t^2+t+1)}\right)dt=$

$=-\frac{1}{3(t-1)}+\frac{1}{3}\ln|t-1|+\frac{1}{9}\left(\frac{3(t-1)}{t^2+t+1}+2\sqrt{3}\arctan \left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)\right)+$
$-\frac{1}{6}\ln |t^2+t+1|-\frac{5\sqrt{3}}{9}\arctan \left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)$

Po úpravě:

$\int \frac{3t^3}{(t^3-1)^{2}}\,dt=\frac{t}{1-t^3}+\frac{1}{3}\ln|t-1|-\frac{1}{6}\ln |t^2+t+1|-\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan \left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)+C$

což by měl být výsledek (derivace to potvrzuje).

Argcotgh x · 31. 12. 2014 19:57

Asi jsem udělal chybu už v parciálních zlomcích. Ale stále mi není jasný ten člen

$\frac{t}{1-t^3}$

Jj · 31. 12. 2014 20:03 — Editoval Jj (31. 12. 2014 20:04)

$=\color{red}-\frac{1}{3(t-1)}\color{black} +\frac{1}{3}\ln|t-1|+\color{red}\frac{1}{9}\left(\frac{3(t-1)}{t^2+t+1}\color{black} +2\sqrt{3}\arctan \left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)\right)$

Ten výraz je součtem obarvených členů. Takže už se neintetgruje (už je zintegrováno).

Argcotgh x · 31. 12. 2014 20:16

Ano, když jsem to teď sečetl, skutečně to dalo ten podivný člen. Díky moc!

Matematické Fórum

#1 31. 12. 2014 14:30

Integrál (racionální funkce)

#2 31. 12. 2014 15:59

Re: Integrál (racionální funkce)

#3 31. 12. 2014 16:03

Re: Integrál (racionální funkce)

#4 31. 12. 2014 17:04

Re: Integrál (racionální funkce)

#5 31. 12. 2014 17:12

Re: Integrál (racionální funkce)

#6 31. 12. 2014 17:28

Re: Integrál (racionální funkce)

#7 31. 12. 2014 17:30

Re: Integrál (racionální funkce)

#8 31. 12. 2014 18:59 — Editoval Jj (31. 12. 2014 19:00)

Re: Integrál (racionální funkce)

#9 31. 12. 2014 19:57

Re: Integrál (racionální funkce)

#10 31. 12. 2014 20:03 — Editoval Jj (31. 12. 2014 20:04)

Re: Integrál (racionální funkce)

#11 31. 12. 2014 20:16

Re: Integrál (racionální funkce)

Zápatí