Matematické Fórum

pavelbr · 30. 12. 2014 22:26

Ahoj, ví někdo, jak vyřešit tuto maticovou rovnici? A*X=X*B, X je matice neznámá.

Děkuju

janca361 · 31. 12. 2014 11:06

↑ pavelbr:
Jelikož znáš rozměry matic A a B, tak zjistíš rozměry matice X.

Matice C bude:
$X = \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\\ \end{array} \right)$

(dle rozemětů, které budeš mít.

A potom řešíš $A \cdot X=X \cdot B$ a dopočítáš výslednou soustavu.

pavelbr · 31. 12. 2014 12:02

Můžete mi to nějak vysvětlit, jak jste k tomu došla? Vůbec tomu nechápu. Já jsem zkoušel dát neznámé na jednu stranu a pak neznámou X vytknout, ale to však nejde.

Eratosthenes · 31. 12. 2014 12:52

↑ janca361:

Jenže ↑ pavelbr: asi nezná rozměry matic, ani konkrétní matice A, B. Úlohou je zřejmě řešit rovnici obecně, tak jako např.

AX = B => X= A^{-1}B

Chvíli jsem se na to díval, ale zatím mě nic nenapadlo.

pavelbr · 31. 12. 2014 12:56

Omlouvám se, špatně jsem zadal zadání. My matice A a B známe, jsou obě čtvercové řádu 2. Ale stejně nevím, jak se neznámá X vyjádří. Víte teď?

Eratosthenes · 31. 12. 2014 13:04

↑ pavelbr:

v tom případě jak psala ↑ janca361:. Napiš si rovnici s jednotlivými prvky Např.

$\left( \begin{array}{cc@{\ }r} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc@{\ }r} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc@{\ }r} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc@{\ }r} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{array} \right)$

a pak porovnávej prvky. Dostaneš čtyři rovnice pro čtyři neznámé.

pavelbr · 31. 12. 2014 14:26

A můžeš mi napsat, jak budou vypadat ty 4 rovnice, abych se ujistil? Díky

Pavel · 31. 12. 2014 14:58

↑ pavelbr:

V obecném případě nelze maticovou rovnici $\mathbf{AX}=\mathbf{XB}$ jednoduše vyřešit. Je nutné použít tzv. podobné matice. Dokonce jsem někde viděl postup, který využíval teorii funkcí nad maticemi a převod na speciální diferenciální rovnici. Nic elementárního.

Eratosthenes · 31. 12. 2014 16:28

↑ Pavel:

Je fakt, že první, do čeho jsem se zapletl ve svém pokusu ↑ Eratosthenes:, byly matice typu X^{-1}AX resp. AXA^{-1}, takže ta podobnost tam vykukuje hned. Ale nebylo mi jasné, co s tím. Takže konstatování, že to není jednoduché, mě poskytlo alibi a potěšilo :-)

vlado_bb · 31. 12. 2014 16:40

↑ pavelbr:Prepac hlupu otazku, ale pre istotu ... vies, ako sa nasobia matice?

pavelbr · 31. 12. 2014 17:43

Ano, to vím :) Jen pro ujasnění, stačí teda, když matice na levé i pravé straně vynásobím a dám do rovnosti? A tím dostanu 4 rovnice o 4 neznámých, je to tak?

janca361 · 31. 12. 2014 17:45

Eratosthenes napsal(a):
↑ janca361:

Jenže ↑ pavelbr: asi nezná rozměry matic, ani konkrétní matice A, B.

No já soudila z toho, že je zná a on je fakt zná.

A jinak ano - s písmenky pracuj stejně jako s čísly.

vanok · 31. 12. 2014 18:25 — Editoval vanok (31. 12. 2014 18:28)

Pozdravujem
poznamka:
Ako poznamenal ↑ Pavel:
$\mathbf{AX}=\mathbf{XB}$ (vsetko komlexne matice typu(n,n). )
sa da riesit aj inac, ako to tu bolo navrhnute.
Je jasne, ze problem ma nulovu maticu ako trivialne riesenie.
Co sa tyka inych rieseni, dana rovnica ma riesenie len a len vtedy ak A, B maju aspon jednu spolocnu vlastnu hodnotu. ( co kazdy student co studuje druhy semester lin. alg. by mal vediet bez tazkosti dokazat )
Komplikovanejsie rovnice, ako
$\mathbf{AX}-\mathbf{XB}=\mathbf{C}$ boli studovane Roth-om, Halmos-om atd....

vlado_bb · 31. 12. 2014 20:46

pavelbr napsal(a):
Ano, to vím :) Jen pro ujasnění, stačí teda, když matice na levé i pravé straně vynásobím a dám do rovnosti? A tím dostanu 4 rovnice o 4 neznámých, je to tak?

Ano, presne tak.

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2014 22:26

maticová rovnice

#2 31. 12. 2014 11:06

Re: maticová rovnice

#3 31. 12. 2014 12:02

Re: maticová rovnice

#4 31. 12. 2014 12:52

Re: maticová rovnice

#5 31. 12. 2014 12:56

Re: maticová rovnice

#6 31. 12. 2014 13:04

Re: maticová rovnice

#7 31. 12. 2014 14:26

Re: maticová rovnice

#8 31. 12. 2014 14:58

Re: maticová rovnice

#9 31. 12. 2014 16:28

Re: maticová rovnice

#10 31. 12. 2014 16:40

Re: maticová rovnice

#11 31. 12. 2014 17:43

Re: maticová rovnice

#12 31. 12. 2014 17:45

Re: maticová rovnice

Eratosthenes napsal(a):

#13 31. 12. 2014 18:25 — Editoval vanok (31. 12. 2014 18:28)

Re: maticová rovnice

#14 31. 12. 2014 20:46

Re: maticová rovnice

pavelbr napsal(a):

Zápatí