Matematické Fórum

Ibanus · 01. 01. 2015 14:25 — Editoval Ibanus (01. 01. 2015 14:26)

Zdravím,

mám takový problém s tím upravit si následující příklad:
$\text{tg}(z)=\frac{1}{3}$

Mám následující upravený tvar z výše uvedeného:
$\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=\frac{1}{3}$

Zavedl jsem substituci
$e^{iz}=y$

A nyní když upravuji, dostávám se na rovnici třetího řádu a dělám tím pádem někde chybu. Poradíte další postup? Děkuji

misaH · 01. 01. 2015 14:34 — Editoval misaH (01. 01. 2015 14:36)

↑ Ibanus:

$\frac {y-\frac {1}{y}}{y+\frac {1}{y}}=\frac {y^2-1}{y^2+1}$

Ibanus · 01. 01. 2015 14:37

↑ misaH:

Ano, to mám,

dává mi to, ale dojdu na toto:
$\frac{y^{2}-1}{iy^{2}+i}=\frac{1}{3}y$

Dalšími úpravami dojdu na:
$iy^{3}-3y^{2}+iy+3=0$

A tady si myslím je chyba.

misaH · 01. 01. 2015 14:45

$\frac{y^{2}-1}{iy^{2}+i}=\frac{1}{3}y$

To $y$ na pravej strane nemá byť, kde sa to vzalo?

Ibanus · 01. 01. 2015 14:46 — Editoval Ibanus (01. 01. 2015 14:48)

↑ misaH:

Vynasobil jsem celý výraz $\cdot y$ resp. obě strany rovnice, abych se zbavil jmenovatele.

misaH · 01. 01. 2015 14:49 — Editoval misaH (01. 01. 2015 14:50)

↑ Ibanus:

Ktorý celý výraz?

$y$ pribudlo len napravo a nerozumiem prečo.

Pri úprave pôvodného zlomku $y$ z menovateľov na ľavej strane vypadlo.

Ibanus · 01. 01. 2015 14:54

$\frac{y^{2}-1}{iy^{2}+i}=\frac{1}{3}y$

No a to jsem vynásobil jmenovatelem nalevo.
$\cdot (iy{2}+i)$

Tedy:
$y^{2}-1=\frac{1}{3}iy^{3}+\frac{1}{3}iy$

misaH · 01. 01. 2015 15:33 — Editoval misaH (01. 01. 2015 15:35)

↑ Ibanus:

Ale prečo je na pravej strane to $y$ ?

Veď tam nemá čo hľadať, nechápeš?

Len tak si vynásobíš pravú stranu rovnice neznámou $y$ a stále opakuješ to isté, miesto toho, aby si sa zamyslel nad tým, čo píšem.

Ibanus · 01. 01. 2015 15:40 — Editoval Ibanus (01. 01. 2015 15:42)

Jakto?

Já tady mám úpravu:

$\frac{\frac{e^{iz}}{1}-\frac{1}{e^{iz}}}{\frac{ie^{iz}}{1}+\frac{i}{e^{iz}}}$

Tak tedy teď v tom mám guláš. :-) Zkusím to bez ypsilon napravo. Doposud jsem to viděl, že se to řeší jako rovnice, takže jsem i pravou stranu zahrnul do úprav.

misaH · 01. 01. 2015 15:43

$\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=\frac{1}{3}$

$\frac {y-\frac {1}{y}}{y+\frac {1}{y}}=\frac {\frac {y^2-1}{y}}{\frac {y^2+1}{y}}=\frac {y^2-1}{y^2+1}$

$\frac {y^2-1}{i (y^2+1)}=\color {red}\frac13$

Ibanus · 01. 01. 2015 15:48

↑ misaH:

Jo, už to vidím, já si ten prostřední výraz nerozepsal i se jmenovateli a pak mi uniklo zkrácení a místo toho jsem to zbytečně násobil. :-)

Teď mám tedy rovnici:
$y^{2}-1-\frac{1}{3}iy^{2}-\frac{1}{3}i$

Nepletu se? :-)

misaH · 01. 01. 2015 15:49 — Editoval misaH (01. 01. 2015 15:51)

↑ Ibanus:

Má tam byť $=$ a na pravej strane $+$ .

misaH · 01. 01. 2015 15:52

$y^2-1=\frac13i (y^2+1)$

Ibanus · 01. 01. 2015 16:02 — Editoval Ibanus (01. 01. 2015 17:12)

↑ misaH:

$3y^2-3=i (y^2+1)$

Další úpravy mě moc nenapadají.

Ibanus · 01. 01. 2015 19:58 — Editoval Ibanus (01. 01. 2015 20:00)

Poradí někdo, jak řešit tento tvar rovnice?

$3y^2-3=i (y^2+1)$

Dostal jsem se na kvadratickou rovnici:

kde:
$a=3-i$
$b=0$
$c=-(3+i)$

z toho výsledek mi vyšel:
$\frac{\pm \sqrt{10}}{3-i}=\pm \frac{(3+i)}{\sqrt{10}}$

Podle zadání mám Určete všechna komplexní z, pro která platí
$tg(z)=\frac{1}{3}$

Poradíte, jak adekvátně to dokončit? :-)

Matematické Fórum

#1 01. 01. 2015 14:25 — Editoval Ibanus (01. 01. 2015 14:26)

Funkce tg(z) v komplexní rovině

#2 01. 01. 2015 14:34 — Editoval misaH (01. 01. 2015 14:36)

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#3 01. 01. 2015 14:37

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#4 01. 01. 2015 14:45

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#5 01. 01. 2015 14:46 — Editoval Ibanus (01. 01. 2015 14:48)

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#6 01. 01. 2015 14:49 — Editoval misaH (01. 01. 2015 14:50)

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#7 01. 01. 2015 14:54

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#8 01. 01. 2015 15:33 — Editoval misaH (01. 01. 2015 15:35)

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#9 01. 01. 2015 15:40 — Editoval Ibanus (01. 01. 2015 15:42)

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#10 01. 01. 2015 15:43

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#11 01. 01. 2015 15:48

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#12 01. 01. 2015 15:49 — Editoval misaH (01. 01. 2015 15:51)

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#13 01. 01. 2015 15:52

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#14 01. 01. 2015 16:02 — Editoval Ibanus (01. 01. 2015 17:12)

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

#15 01. 01. 2015 19:58 — Editoval Ibanus (01. 01. 2015 20:00)

Re: Funkce tg(z) v komplexní rovině

Zápatí