Matematické Fórum

pavelbr · 30. 12. 2014 21:50

Ahoj, potřeboval bych poradit s Laplaceovou transformací. Podle věty o Laplaceově obrazu derivace máme odvodit z Laplaceova obrazu funkce f(t)=-cos t Laplaceův obraz funkce g(t)=sin t.

Pomůže mi někdo?

jelena · 31. 12. 2014 09:48

Zdravím,

zkus začít formulaci věty o Laplace obrazu derivace + definice Laplace transformace (mělo by to stačit k odvození + fakt, že $(\cos(t))^{\prime}=-\sin(t)$ . Stačí tak na úvod? Děkuji.

pavelbr · 31. 12. 2014 18:25

Já jsem to řešil tak, že jsem zderivoval obraz funkce -cost= $-\frac{p}{p^{2}+1}$ , derivace vyšla $\frac{p^{2}-1}{(p^{2}+1)^{2}}$ . Postupuju správně? Asi ne, když mi to nevyšlo.

jelena · 31. 12. 2014 19:47

↑ pavelbr:

děkuji, takový postup, mám dojem, jsem nenavrhovala. Můžeš rovnou použit větu, ze které plyne vzorec "ze slovníku" (4. řádek na 2. straně), nebo provést podrobnější důkaz, že výsledek platí (přes definic Laplace transformace).

pavelbr · 31. 12. 2014 21:53

Můžu se zeptat, jak řešení bude zhruba vypadat, stále si nejsem jist.

jelena · 01. 01. 2015 10:59

↑ pavelbr:

podle úlohy bych spíš zvolila přímo použití vzorce, který se uvádí ve větě o derivaci obrazu (větu jsi našel?)

$\mathcal{L}\{ f^{\prime}(t)\}=pF(p)-f(0+)$

v našem případě $f(t)=-\cos(t)$ - to použijeme do předchozího vztahu. A $f^{\prime}(t)=\sin(t)=g(t)$ - to bychom měli vidět ve výsledku a mělo by souhlasit s tabulkou slovníku.

$\mathcal{L}\{ g(t)\}=\mathcal{L}\{ f^{\prime}(t)\}=pF(p)-f(0+)$ , $F(p)$ přisluší k $f(t)$ dle slovníku.

Bez použití věty bys vycházel přímo z definice $F(p) =\int_0^{\infty} e^{-pt} f(t) \,\d t$ (TeX zápisy jsou okopírovány odsud, ve vztahu "vzor" "obraz" nemá být =, ale spec. znak, jako v materiálu) a ukázal, ze vztah ze slovníku platí.

pavelbr · 01. 01. 2015 13:50

Mně to pořád nevychází, jestli se nepletu, tak obraz derivace vyjde -F´(p), ale dosazením do vzorce to nevychází. Můžete mi prosím napsat přesné řešení k tomuto příkladu?

jelena · 01. 01. 2015 14:29

↑ pavelbr:

v některém z témat máš odkaz na hodně podrobný výklad k Laplace transformaci (odkaz na ČVUT, který vždy dávám, je výhodný pro rychlý přehled + má hodně (vyřešených) úloh s výsledky).

Dodržuj, prosím takové kroky:

a) najít $F(p)$ obraz k $-\cos(t)$ (podle slovníku)
b) najít hodnotu funkce $-\cos(t)$ pro $t=0^{+}$
c) předchozí výsledky dosadit do vzorce $\mathcal{L}\{ g(t)\}=\mathcal{L}\{ f^{\prime}(t)\}=pF(p)-f(0+)$ (úplně napravo a výsledek upravit).

Řekla bych, že se pokoušíš derivovat obraz, ale to se nepoužívá, můžeš dat Tvůj materiál k tomuto okruhu - pokusím se ukázat, na co se máš zaměřit. Děkuji.

pavelbr · 01. 01. 2015 15:14

Moc děkuju, už to chápu.

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2014 21:50

Laplaceova transformace

#2 31. 12. 2014 09:48

Re: Laplaceova transformace

#3 31. 12. 2014 18:25

Re: Laplaceova transformace

#4 31. 12. 2014 19:47

Re: Laplaceova transformace

#5 31. 12. 2014 21:53

Re: Laplaceova transformace

#6 01. 01. 2015 10:59

Re: Laplaceova transformace

#7 01. 01. 2015 13:50

Re: Laplaceova transformace

#8 01. 01. 2015 14:29

Re: Laplaceova transformace

#9 01. 01. 2015 15:14

Re: Laplaceova transformace

Zápatí