Matematické Fórum

Anetik · 03. 01. 2015 13:28

Ahoj, chtěla bych Vás poprosit o pomoc s důkazem //forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/88024_matice.jpg

Děkuji moc za všechny rady :)

Jozef3 · 03. 01. 2015 13:42

↑ Anetik:
Dobrý den.
Je třeba si uvědomit, že v tomto případě je $var \textbf{X}$ matice typu 2x2, v jejímž 1. řádku a 1. sloupci chcete mít $var X_{1}$ , v 1. řádku a 2. sloupci a také 2. řádku a prvním sloupci chcete mít $cov( X_{1},X_{2})$ a ve 2. řádku a 2. sloupci této matice chcete mít $var X_{2}$ .
Tak spolu ty dva vektory vynásobte, udělejte z toho součinu střední hodnotu a snad Vám to takto vyjde.

Anetik · 03. 01. 2015 15:19

↑ Jozef3:
Mohl byste mi prosím napsat podrobnější postup.

Jozef3 · 03. 01. 2015 16:38 — Editoval Jozef3 (03. 01. 2015 16:41)

↑ Anetik:
Dobrá, tak já Vám ten součin rozepíšu.
$var \textbf{X} = E(\textbf{X} - E\textbf{X}) \cdot (\textbf{X} - E\textbf{X})^{T} = E(((X_{1},X_{2}) - (\mu _{1}, \mu _{2})) \cdot (((X_{1},X_{2}) - (\mu _{1}, \mu _{2}))^{T}) =$

$=E(\left( \begin{array}{ccc} X_{1}-\mu _{1} \\ X_{2}-\mu _{2} \\ \end{array} \right) \cdot (X_{1}-\mu _{1}, X_{2}-\mu _{2})) =$

$=E(\left( \begin{array}{ccc} X_{1}^{2}-2X_{1}\mu _{1}-\mu _{1}^{2} & X_{1}X_{2} - X_{1}\mu _{2} - \mu _{1}X_{2} + \mu _{1}\mu _{2} \\ X_{1}X_{2} - X_{1}\mu _{2} - \mu _{1}X_{2} + \mu _{1}\mu _{2} & X_{2}^{2}-2X_{2}\mu _{2}-\mu _{2}^{2} \\ \end{array} \right)).$

Teď na tu poslední matici aplikujte střední hodnotu, uvědomte si, co je rozptyl a co je kovariance a budete hotová.

Anetik · 03. 01. 2015 20:03

$=E(\left( \begin{array}{ccc} X_{1}^{2}-2X_{1}\mu _{1}-\mu _{1}^{2} & X_{1}X_{2} - X_{1}\mu _{2} - \mu _{1}X_{2} + \mu _{1}\mu _{2} \\ X_{1}X_{2} - X_{1}\mu _{2} - \mu _{1}X_{2} + \mu _{1}\mu _{2} & X_{2}^{2}-2X_{2}\mu _{2}-\mu _{2}^{2} \\ \end{array} \right)).$ ↑ Jozef3:
K tomuto výsledku jsem taky došla, na hlavní diagonále je rozptyl na druhou a na vedlejší kovariance, ale nemůžu už dojít pak ke konečnému výsledku. Jak vidíte teorie pravděpodobnosti není zrovna něco co bych hned pochopila, proto děkuji za Vaši trpělivost :)

Jozef3 · 03. 01. 2015 20:16

↑ Anetik:
Na hlavní diagonále je rozptyl, nikoliv rozptyl na druhou a na vedlejší diagonále jsou skutečně kovariance. Co tedy znamená, že "nemůžete dojít ke konečnému výsledku"? Vždyť tímto jste k němu došla.

Anetik · 03. 01. 2015 20:28

↑ Jozef3:
Aha jo já jsem se spletla myslela jsem sigma na druhou ;) myslela jsem totiž, že musím dojít k tomu původnímu zadání... no dobrá tedy děkuji Vám velice za pomoc :) jsem Vám vděčná :)

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2015 13:28

Teorie pravděpodobnosti - náhodný vektor

#2 03. 01. 2015 13:42

Re: Teorie pravděpodobnosti - náhodný vektor

#3 03. 01. 2015 15:19

Re: Teorie pravděpodobnosti - náhodný vektor

#4 03. 01. 2015 16:38 — Editoval Jozef3 (03. 01. 2015 16:41)

Re: Teorie pravděpodobnosti - náhodný vektor

#5 03. 01. 2015 20:03

Re: Teorie pravděpodobnosti - náhodný vektor

#6 03. 01. 2015 20:16

Re: Teorie pravděpodobnosti - náhodný vektor

#7 03. 01. 2015 20:28

Re: Teorie pravděpodobnosti - náhodný vektor

Zápatí