Matematické Fórum

pavelbr · 02. 01. 2015 23:22

$\lim_{x\to-\infty }\frac{cos(2x^{2})}{e^{3x}-1}$ Tato limita diverguje, ale ví někdo proč?

Eratosthenes · 02. 01. 2015 23:51

↑ pavelbr:

Ta limita nediverguje. Ona neexistuje.

pavelbr · 03. 01. 2015 00:17

Proč tomu tak je?

Freedy · 03. 01. 2015 01:48

↑ Eratosthenes:
Ahoj, divergence znamená, že se daná limita neblíží k žádné konkrétní hodnotě, tudíž v tomto případě diverguje. To že limita neexistuje, je věc jiná. Funkce, která diverguje v +- nekonečnu, je buď nevlastní, nebo neexistuje.

↑ pavelbr:
Ta limita diverguje, protože ve jmenovateli se nachází výraz (0-1) a v čitateli to kolísá mezi -1 a 1.

Eratosthenes · 03. 01. 2015 10:29

ahoj ↑ Freedy:,

pleteš se. Limita nemůže divergovat. Divergovat může jenom posloupnost nebo řada. Limita může jen existovat, anebo neexistovat.

Posloupnost {n} diverguje.
Limita lim n existuje a je nevlastní.

Posloupnost {(-1)^n} osciluje.
Limita lim (-1)^n neexistuje.

Bati · 03. 01. 2015 10:55

Ahoj ↑ pavelbr:
Chceš dokázat neexistenci limity funkce $f(x)=\frac{\cos(2x^2)}{e^{3x}-1}$ v bodě $-\infty$ , takže dle Heineho věty stačí najít 2 posloupnosti $\{a_n\},\{b_n\}$ takové, že $a_n\to-\infty,b_n\to-\infty$ pro $n\to\infty$ a platí $\lim_{n\to\infty}f(a_n)\neq\lim_{n\to\infty}f(b_n)$ .
Nejjednodušší asi bude zjistit, kdy $\cos(2x^2)=\pm1$ , takže bych zkusil volit něco jako $a_n=-\sqrt{n\pi}$ a $b_n=-\sqrt{n\pi+\tfrac{\pi}2}$ . Ověř sám, jestli to funguje.

Freedy · 03. 01. 2015 19:57

↑ Eratosthenes: aha a jaký je tedy rozdíl mezi oscilací a divergenci? Protože my se učili že posloupnost je divergentní když je limita v nekonečnu nevlastní, nebo neexistuje.

Bati · 03. 01. 2015 20:14 — Editoval Bati (03. 01. 2015 20:18)

↑ Freedy:↑ Eratosthenes:
To je jen otázka názvosloví, které se může lišit. Podle mého názoru je nejlepší (a v zahraniční literatuře se s tím setkávám nejčastěji) následující: limita - existuje (a tím se už myslí, že je konečná) \ neexistuje \ +-oo.
Pojem divergence se pak u posloupností spíše nepoužívá, protože stačí říct, že limita je buď +-oo, nebo neexistuje, o čemž lze většinou snadno rozhodnout a je to přesnější, než říct, že posloupnost diverguje a nevědět, co se tím zrovna myslí.

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2015 23:22

limita

#2 02. 01. 2015 23:51

Re: limita

#3 03. 01. 2015 00:17

Re: limita

#4 03. 01. 2015 01:48

Re: limita

#5 03. 01. 2015 10:29

Re: limita

#6 03. 01. 2015 10:55

Re: limita

#7 03. 01. 2015 19:57

Re: limita

#8 03. 01. 2015 20:14 — Editoval Bati (03. 01. 2015 20:18)

Re: limita

Zápatí