Matematické Fórum

Flaky · 03. 12. 2014 20:59

Dobrý den, potřeboval bych poradit s jednou limitou, pro kterou se má dokázat následující:

$\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{x_1, x_2\ldots , x_n} = \lim_{n\to\infty }x_n$ , kde x_n > 0

děkuji.

Pavel · 03. 12. 2014 21:51

↑ Flaky:

$\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{x_1, x_2\ldots , x_n} = \mathrm{e}^{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac 1n\sum_{i=1}^n\ln(x_i)\right)}$

Na limitu v exponentu na pravé straně stačí použít Stolzovu větu.

Flaky · 21. 12. 2014 15:51

↑ Pavel:

Tuto větu jsme nebrali, šlo by to i nějak jinak? Nebo v čem ta věta spočívá?

jarrro · 21. 12. 2014 17:43 — Editoval jarrro (21. 12. 2014 17:45)

Stolzova veta je taká diskrétna obdoba Lhospitalovej vety hovorí, že keď
máme rastúcu neohraničenú postupnosť b a postupnosť a takú, že existuje
$\lim_{n\to\infty}{\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}$
tak potom existuje aj
$\lim_{n\to\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}$
a tieto dve limity sa rovnajú
v tvojom prípade je účelné uvažovať
$a_n=\sum_{i=1}^{n}{\ln{$x_i$}}\nl b_n=n$

Flaky · 21. 12. 2014 22:03

↑ jarrro:
takže chapu to správně, že pro tu první limitu v čitateli dostanu sumu přes i od jedne do n+1 z ln(xi) - sumu přes i od jedne do n to celé lomeno n+1-n ?

jarrro · 22. 12. 2014 12:21

áno

vanok · 22. 12. 2014 12:30 — Editoval vanok (22. 12. 2014 18:14)

Pozdravujem.
Poznamka:
Dana limita je nasobiaca varianta Cesàro-vej vety.
Mozno je dobre poznamenat, ze pytana rovnost plati za podmienky, ze $\lim_{n\to\infty }x_n$ existuje.
Limita laveho clenu ( ↑ Flaky:) moze existe aj bez toho aby limita praveho clenu existovala.

Flaky · 22. 12. 2014 14:05

↑ jarrro:

No a ta limita mi tedy vyjde nekonečno. Když potom dosadím do druhé limity tak by tedy také měla být nekonečno. Jetě by mě tedy zajímalo, jak oargumentovat, že lim an/bn jde k nekonečnu.

vanok · 22. 12. 2014 16:23

Ahoj ↑ Flaky:,
Ak napr. $x_n=2$ pre vsetki n, tak potom obe limity su 2. Vysvetli.

Flaky · 22. 12. 2014 18:03

↑ vanok:

Ano, to platí, ale kdybych chtěl vyjít z té limity podílu, tak musím ukázat, že ten součet ln(x_i) přes i od jedné do n roste rychleji, než n, aby limita byla nekonečno. To ale nevím uplne jak dokázat.

Brano · 22. 12. 2014 18:20 — Editoval Brano (22. 12. 2014 20:55)

↑ Flaky:
zrejme tam este treba pridat nejaky predpoklad (napr. ze ta limita vpravo existuje), lebo ked vezmes napr. $x_n=4$ pre $n$ parne, inak $x_n=1$ ; tak ta limita vlavo existuje a je rovna $2$ a ta limita vpravo neexistuje - t.j. sa nemozu rovnat.

vanok · 22. 12. 2014 19:23 — Editoval vanok (22. 12. 2014 19:24)

Poznamka
Pekna Scholz-ova veta nam da jednoduchu, ale uzitocnu variantu: Cesàro-vu vetu ktora sa da dokazat aj bez Sholz-a.
A to nam da tento dokaz. ( pomocou Sholz-ovej vety tu je to trosicku koplikovanejsie.)
Vieme ( Cesàro)
Ak $\lim_{n\to\infty }x_n$ existuje a ak $= L$
Potom
$\lim_{n\to\infty }\frac {x_1+ x_2+\ldots + x_n}n{} = L$

Na dokaz tvojho cvicenia staci polozit $\ln (x_n)=t_n$ .

Pozor v tvojom sucine v texte cvicenia : miesto , treba .

jarrro · 22. 12. 2014 19:57 — Editoval jarrro (24. 12. 2014 20:54)

↑ Flaky:aké nekonečno veď predsa
$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n+1}{\ln{$x_i$}}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\ln{$x_{i}$}}}{n+1-n}=\ln{$x_{n+1}$}$
teda ak existuje
$\lim_{n\to\infty}{$\ln{\(x_n$}\)}$
tak existuje aj
$\lim_{n\to\infty}{$\ln{\(x_{n+1}$}\)}$
a podľa Stolzovej vety aj
$\lim_{n\to\infty}{$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{\ln{\(x_i$}}}{n}\)}$

Flaky · 03. 01. 2015 19:21 — Editoval Flaky (03. 01. 2015 19:22)

↑ jarrro:

Dobře, takže teď jsme dokázali, že limita vlevo existuje a je rovna $\lim_{n\to\infty }(\ln(x_{n+1}))$ .
Jak teď zjistím, že je i rovna limitě napravo ( $\lim_{n\to\infty }x_n$ ) ?

vanok · 03. 01. 2015 19:38

Ahoj
To funguje za predpokladu, ze limita na pravo existuje ako tu: ↑ Brano: alebo aj tu ↑ vanok:.
Nepocul si o Cesaro-vej convergencii radu 2, 3,... ? tykajucej sa divergentnich postupnosti.

Flaky · 03. 01. 2015 19:50 — Editoval Flaky (03. 01. 2015 19:54)

↑ vanok:
Jak už jsem psal, tuto větu jsme neprobírali.

Takže takto je už důkaz kompletní?

vanok · 03. 01. 2015 19:58

Ano ale v tomto vlakne mas popis ako dokazat a pouzit Stolz, alebo co tu staci aj Cesaro. A pripadne najdes explicitée dokazy aj na webe. Tie dokazy su skor jednoduche. Tak ak pochopis ich dokaz, co ti treba na viac?

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2014 20:59

Děmidovič - limita

#2 03. 12. 2014 21:51

Re: Děmidovič - limita

#3 21. 12. 2014 15:51

Re: Děmidovič - limita

#4 21. 12. 2014 17:43 — Editoval jarrro (21. 12. 2014 17:45)

Re: Děmidovič - limita

#5 21. 12. 2014 22:03

Re: Děmidovič - limita

#6 22. 12. 2014 12:21

Re: Děmidovič - limita

#7 22. 12. 2014 12:30 — Editoval vanok (22. 12. 2014 18:14)

Re: Děmidovič - limita

#8 22. 12. 2014 14:05

Re: Děmidovič - limita

#9 22. 12. 2014 16:23

Re: Děmidovič - limita

#10 22. 12. 2014 18:03

Re: Děmidovič - limita

#11 22. 12. 2014 18:20 — Editoval Brano (22. 12. 2014 20:55)

Re: Děmidovič - limita

#12 22. 12. 2014 19:23 — Editoval vanok (22. 12. 2014 19:24)

Re: Děmidovič - limita

#13 22. 12. 2014 19:57 — Editoval jarrro (24. 12. 2014 20:54)

Re: Děmidovič - limita

#14 03. 01. 2015 19:21 — Editoval Flaky (03. 01. 2015 19:22)

Re: Děmidovič - limita

#15 03. 01. 2015 19:38

Re: Děmidovič - limita

#16 03. 01. 2015 19:50 — Editoval Flaky (03. 01. 2015 19:54)

Re: Děmidovič - limita

#17 03. 01. 2015 19:58

Re: Děmidovič - limita

Zápatí