Matematické Fórum

3,141592653589793 · 04. 01. 2015 17:14

Zdravím,

neviete mi prosím poradiť ako na takúto limitku? Som z toho zmätený, keď nenaháňam najrýchlejšie rastúci člen. Ďakujem.

$\lim_{n\to\infty } \frac{\ln(1/n+e^{\frac{1}{n}}) }{\ln (1/n+e^{\frac{2}{n}})}$

Bati · 04. 01. 2015 17:50

Ahoj,
převeď to na limitu funkce $\frac{\ln(x+e^x)}{\ln(x+e^{2x})}$ v nule zprava. Protože argumenty logaritmu jdou k jedničce, vím že čitatel je $x+e^x-1+O(x^2)$ a jmenovatel $x+e^{2x}-1+O(x^2)$ . Ale limita
$\lim_{x\to0+}\frac{x+e^x-1}{x+e^{2x}-1}$ existuje a je rovna $\tfrac23$ (vykrácení x a známá limita), takže i původní limita je $\tfrac23$ .

3,141592653589793 · 04. 01. 2015 18:11

Ďakujem za pomoc.

Chcel by som sa ešte spýtať na zopár vecí. Ohľadom toho prevedenia na funkciu, ako viem, že taká funkcia má v $0_{+}$ rovnakú limitu ako to pôvodná v $+\infty$ a čo konkrétne znamená $O(x^{2})$ . Ďakujem.

Takže asi takto nejako ten koniec už chápem:
-------------------------------------------------

$\lim_{x\to0} \frac{x+e^{x}-1}{x+e^{2x}-1}$

$\lim_{x\to0} \frac{x+\frac{e^{x}-1}{x}\cdot x}{x+\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot 2x}=2/3$

Bati · 04. 01. 2015 18:57 — Editoval Bati (04. 01. 2015 19:10)

↑ 3,141592653589793:
Převedení limity posloupnosti na limitu funkce obstarává Heineho věta. Pokud ukážeme, že $\lim_{x\to0+}f(x)=L$ , pak pro každou posloupnost splňující $0\neq a_n\to0$ , $n\to\infty$ platí $f(a_n)\to L$ . V našem případě $a_n=\tfrac1n$ .

$O(x^2)$ je nějaká funkce $g$ taková, že $\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x^2}\in(0,\infty)$ (vlastně to znamená, že $g$ se chová stejně jako $x^2$ (až na multiplikativní konstantu) v okolí 0).

Pokud jste neměli Taylorovy rozvoje, tak ten krok s $O(x^2)$ jde nahradit použitím limity $\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1$ (ono to je v principu to samé, protože platí
$\ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}2+\tfrac{x^3}3-\cdots$ pro $x\in(-1,1)$ ).
Stačí to rozepsat takto:
$\frac{\ln(1+(x+e^x-1))}{\ln(1+(x+e^{2x}-1))}= \frac{\ln(1+(x+e^x-1))}{x+e^{x}-1}\cdot \frac{x+e^x-1}{x+e^{2x}-1}\cdot \frac{x+e^{2x}-1}{\ln(1+(x+e^{2x}-1))}$ a
na krajní výrazy použít tu limitu a větu o lim. slož. fce.