Matematické Fórum

green19 · 05. 01. 2015 01:17

Ahojte,
neviete mi pls poradit co najjednoduchsie bijekcie z mnoziny A do B? vdaka

1.A= $\mathbb{Z}\cup (0,1)$ B= $(0,\infty )$

2.A= $\mathbb{Q}\cup \{{\pi n; n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}} \}$
B= $\mathbb{Q}$

3.A=((2,3)x(2,3)) $\cup ($ $\mathbb{N}$ x $\mathbb{N}$ )
B=(0,1)x(0,1)

4.A=(1,2) $\cup \{\frac{1}{2^{n+1}};n\in \mathbb{N}\}\cup \{\frac{n}{n+2};n\in \mathbb{N}\}$
B=(1,2)

5. A= $\{[x,y]\in \mathbb{R}^{2};x=5\wedge (3<y<4)\}\cup (\mathbb{N}$ x $\mathbb{N})$
B=(3,4)

6. A=(0,1) $\cup \mathbb{Z}\cup \{n\sqrt{31};n\in \mathbb{N}\}$
B=(0,1)

Rumburak

↑ green19:

Ahoj.

Tady se nic "úplně triviálního" nalézt nedá, je potřeba si s tím pohrát. Abys pochopil princip, jak na to, dám příklad,
jak sestrojit bijekci množiny $A$ na množinu $B$ , když

$A = \{-1\}\cup (0,1) , B =(0,1)$ .

Pro $n = 1, 2, 3 , ...$ položme $c_n := \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$ . Je zřejmé, že $(c_n)$ je rostoucí (a tedy prostá)
posloupnost v $B$ .

Označme $C$ množinu všech hodnot posloupnosti $(c_n)$ a položme

$h(x) := x$ , pokud $x \in B - C$ ,
$h(x) := c_{n+1}$ , pokud $x = c_n \in C$ .

Snadno nahlédneme, že $h$ je bijekce množiny $B$ na množinu $B - \{c_1\}$ . Nyní definujme

$f(-1) := c_1$ ,
$f(x) := h(x)$ , pokud $x \in A - \{-1\} = B$ .

Potom $f$ je hledaná bijekce množiny $A$ na množinu $B$ .

PS. Jedno z pravidel fora říká, že každá konkretní úloha má mít vlastní vlákno.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2015 01:17

Bijekcie

#2 05. 01. 2015 11:28 — Editoval Rumburak (05. 01. 2015 11:30)

Re: Bijekcie

Zápatí