Matematické Fórum

kritik · 27. 12. 2014 22:12 — Editoval kritik (27. 12. 2014 22:48)

Zdravím,
řeším v rámci předmětu diskrétní matematika Numerickou aproximace derivace funkce.
Mohu někoho znalého poprosit o kontrolu.

a/ zpětná aproximace ze dvou bodů první derivace f(x)
𝑦´(0) = (𝑦_0−y_{(-1)})/h

b/ dopředná aproximace ze dvou bodů f´(x)
𝑦´(0) = (𝑦_1−𝑦_0)/ℎ

c/ středová aproximace ze dvou bodů f´(x)
𝑦´(0) = (𝑦_1−y_{(-1)})/ℎ

d/ středová aproximace z pěti bodů f´(x)
𝑦´(0) = (𝑦_{(−2)}−8𝑦_{(−1)}+8𝑦_1−𝑦_2)/12ℎ

e/ zpětná aproximace ze tří bodů f´(x)
𝑦´(0) = (−3𝑦_{(−1)}+4𝑦_0−𝑦_1)/2ℎ

f/ dopředná aproximace ze tří bodů f´(x)
𝑦´(0) = (𝑦_{(−1)}−4𝑦_0+3𝑦_1)/2ℎ

g/ středová aproximace ze tří bodů f´´(x)
𝑦´´(0) = (𝑦_1−2𝑦_0+𝑦_{(−1)})/ℎ^2

h/ zpětná aproximace ze tří bodů f´´(x)
𝑦´´(0) = (𝑦_0−2𝑦_{(−1)}+𝑦_{(−2)})/ℎ^2

i/ dopředná aproximace ze tří bodů f´´(x)
𝑦´´(0) = (𝑦_2−2𝑦_1+𝑦_0)/ℎ^2

k/ zpětná aproximace f´´´(x)
𝑦^{(3)} (0) = (𝑦_0−3𝑦_{(−1)}+3𝑦_{(−2)}−𝑦_{(−3)})/ℎ^3

l/ dopředná aproximace f´´´(x)
𝑦^{(3)} (0) = (𝑦_3−3𝑦_2+3𝑦_1−𝑦_0)/ℎ^3

Bohužel nikde nemohu najít vzorec pro středovou aproximaci f´´´(x).

Děkuji za každou dobrou radu.
JK

misaH · 27. 12. 2014 22:15 — Editoval misaH (27. 12. 2014 22:16)

↑ kritik:

$y_{(-1)}$

$ y_{(-1)}$

Sergejevicz · 05. 01. 2015 20:56

Zatím jsem se nedobral toho, jak je definována poměrná diference n-té derivace na více než n+1 výpočetních uzlech. Obávám se o existenci něčeho takového. Takže teď neumím odpovědět, jestli je správně d/, e/ a f/, ale budu se snažit něco vymyslet.

K tomu, čím jsem si jistý:
a/ - Správně
b/ - Správně
c/ - Mělo by se dělit 2h a ne jen h - body nezávisle proměnné jsou od sebe 2h daleko, ne jen h.
g/ až l/ správně.

Můžu poskytnout info z Ralstona a mých zápisků přes fotky, nechce se mi to sem opisovat teďka, nemám úplně dost času na to...

kritik · 05. 01. 2015 21:29

↑ Sergejevicz:
Děkuji za odpověď, moc mi to pomohlo.

Sergejevicz

Pan Anthony Ralston ve své knize Základy numerické matematiky (náhodou jsem ji kdysi sehnal v jednom antikvariátu) praví:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/28192__Pomerne_diference_Ralston__1.jpg

Poměrné diference se z diferencí vyrobí dělením délkou intervalu nezávisle proměnné v rekurzivní definici. Centrální poměrná diference prvního řádu se v tebou zadaném případě dělá s krokem 2h, aby nezávisle proměnná měla hodnoty uzlů a ne mezilehlých bodů.

Jak je to s těmi poměrnými diferencemi n-tého řádu z více než n+1 bodů, to stále nevím, moc jsem se tomu nevěnoval, ale jako první mě napadlo nějaké průměrování příslušných diferencí i nižšího řádu než zadaného.

kritik · 10. 01. 2015 21:15

↑ Sergejevicz:
Zajímavá literatura, moc díky za vzorečky.
JK

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2014 22:12 — Editoval kritik (27. 12. 2014 22:48)

Numerická aproximace derivace funkce

#2 27. 12. 2014 22:15 — Editoval misaH (27. 12. 2014 22:16)

Re: Numerická aproximace derivace funkce

#3 05. 01. 2015 20:56

Re: Numerická aproximace derivace funkce

#4 05. 01. 2015 21:29

Re: Numerická aproximace derivace funkce

#5 06. 01. 2015 08:12 — Editoval Sergejevicz (06. 01. 2015 08:16)

Re: Numerická aproximace derivace funkce

#6 10. 01. 2015 21:15

Re: Numerická aproximace derivace funkce

Zápatí